सोडोवचें {l}{10x+10y=9}{5x-2y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 10 y = 9 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$10x+10y=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10y वजा करचें.

$$10x=-10y+9$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+9\right)$$

-10y+9क \frac{1}{10} फावटी गुणचें.

$$x=-y+\frac{9}{10}$$

5x-2y=1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+\frac{9}{10} बदलपी घेवचो.

$$5\left(-y+\frac{9}{10}\right)-2y=1$$

-y+\frac{9}{10}क 5 फावटी गुणचें.

$$-5y+\frac{9}{2}-2y=1$$

-2y कडेन -5y ची बेरीज करची.

$$-7y+\frac{9}{2}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9}{2} वजा करचें.

$$-7y=-\frac{7}{2}$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{2}$$

x=-y+\frac{9}{10} त y खातीर \frac{1}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{10}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{1}{2} क \frac{9}{10} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{2}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-10\times 5}&-\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\\-\frac{5}{10\left(-2\right)-10\times 5}&\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}\times 9+\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}\times 9-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

10x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 10 न गुणचें.

$$5\times 10x+5\times 10y=5\times 9,10\times 5x+10\left(-2\right)y=10$$

सोंपें करचें.

$$50x+50y=45,50x-20y=10$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 50x+50y=45 तल्यान 50x-20y=10 वजा करचो.

$$50x-50x+50y+20y=45-10$$

-50x कडेन 50x ची बेरीज करची. अटी 50x आनी -50x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$50y+20y=45-10$$

20y कडेन 50y ची बेरीज करची.

$$70y=45-10$$

-10 कडेन 45 ची बेरीज करची.

$$70y=35$$

दोनुय कुशींक 70 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{2}$$

5x-2y=1 त y खातीर \frac{1}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x-2\times \frac{1}{2}=1$$

\frac{1}{2}क -2 फावटी गुणचें.

$$5x-1=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 ची बेरीज करची.

$$5x=2$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{2}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$