सोडोवचें {l}{1.5x-3.5y=-5}{-1.2x+2.5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1.5 x - 3.5 y = - 5 } \\ { - 1.2 x + 2.5 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=20$$

$$y=10$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$1.5x-3.5y=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{7y}{2} ची बेरीज करची.

$$1.5x=3.5y-5$$

1.5 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=\frac{2}{3}\left(3.5y-5\right)$$

\frac{7y}{2}-5क \frac{2}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}$$

-1.2x+2.5y=1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{7y-10}{3} बदलपी घेवचो.

$$-1.2\left(\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}\right)+2.5y=1$$

\frac{7y-10}{3}क -1.2 फावटी गुणचें.

$$-2.8y+4+2.5y=1$$

\frac{5y}{2} कडेन -\frac{14y}{5} ची बेरीज करची.

$$-0.3y+4=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$-0.3y=-3$$

-0.3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=10$$

x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3} त y खातीर 10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{7}{3}\times 10-\frac{10}{3}$$

10क \frac{7}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{70-10}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{70}{3} क -\frac{10}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=20$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=20,y=10$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&-\frac{-3.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\\-\frac{-1.2}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&\frac{1.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}&-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}\left(-5\right)-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}\left(-5\right)-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=20,y=10$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

\frac{3x}{2} आनी -\frac{6x}{5} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -1.2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1.5 न गुणचें.

$$-1.2\times 1.5x-1.2\left(-3.5\right)y=-1.2\left(-5\right),1.5\left(-1.2\right)x+1.5\times 2.5y=1.5$$

सोंपें करचें.

$$-1.8x+4.2y=6,-1.8x+3.75y=1.5$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -1.8x+4.2y=6 तल्यान -1.8x+3.75y=1.5 वजा करचो.

$$-1.8x+1.8x+4.2y-3.75y=6-1.5$$

\frac{9x}{5} कडेन -\frac{9x}{5} ची बेरीज करची. अटी -\frac{9x}{5} आनी \frac{9x}{5} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4.2y-3.75y=6-1.5$$

-\frac{15y}{4} कडेन \frac{21y}{5} ची बेरीज करची.

$$0.45y=6-1.5$$

-1.5 कडेन 6 ची बेरीज करची.

$$0.45y=4.5$$

0.45 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=10$$

-1.2x+2.5y=1 त y खातीर 10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-1.2x+2.5\times 10=1$$

10क 2.5 फावटी गुणचें.

$$-1.2x+25=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 25 वजा करचें.

$$-1.2x=-24$$

-1.2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=20$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=20,y=10$$