सोडोवचें {l}{0.5x-0.8y+9=4}{x/3+y/5=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x - 0.8 y + 9 = 4 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=6$$

$$y=10$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$0.5x-0.8y+9=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 वजा करचें.

$$0.5x-0.8y=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{4y}{5} ची बेरीज करची.

$$0.5x=0.8y-5$$

दोनूय कुशीनीं 2 न गुणचें.

$$x=2\left(0.8y-5\right)$$

\frac{4y}{5}-5क 2 फावटी गुणचें.

$$x=1.6y-10$$

\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{8y}{5}-10 बदलपी घेवचो.

$$\frac{1}{3}\left(1.6y-10\right)+\frac{1}{5}y=4$$

\frac{8y}{5}-10क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$\frac{8}{15}y-\frac{10}{3}+\frac{1}{5}y=4$$

\frac{y}{5} कडेन \frac{8y}{15} ची बेरीज करची.

$$\frac{11}{15}y-\frac{10}{3}=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{10}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{11}{15}y=\frac{22}{3}$$

\frac{11}{15} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=10$$

x=1.6y-10 त y खातीर 10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=1.6\times 10-10$$

10क 1.6 फावटी गुणचें.

$$x=16-10$$

16 कडेन -10 ची बेरीज करची.

$$x=6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=10$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{5}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&-\frac{-0.8}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&\frac{0.5}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{24}{11}\\-\frac{10}{11}&\frac{15}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\left(-5\right)+\frac{24}{11}\times 4\\-\frac{10}{11}\left(-5\right)+\frac{15}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=6,y=10$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

\frac{x}{2} आनी \frac{x}{3} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{1}{3} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 0.5 न गुणचें.

$$\frac{1}{3}\times 0.5x+\frac{1}{3}\left(-0.8\right)y+\frac{1}{3}\times 9=\frac{1}{3}\times 4,0.5\times \frac{1}{3}x+0.5\times \frac{1}{5}y=0.5\times 4$$

सोंपें करचें.

$$\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3} तल्यान \frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2 वजा करचो.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

-\frac{x}{6} कडेन \frac{x}{6} ची बेरीज करची. अटी \frac{x}{6} आनी -\frac{x}{6} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

-\frac{y}{10} कडेन -\frac{4y}{15} ची बेरीज करची.

$$-\frac{11}{30}y+3=\frac{4}{3}-2$$

-2 कडेन \frac{4}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{11}{30}y+3=-\frac{2}{3}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$-\frac{11}{30}y=-\frac{11}{3}$$

-\frac{11}{30} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=10$$

\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4 त y खातीर 10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times 10=4$$

10क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$\frac{1}{3}x+2=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 वजा करचें.

$$\frac{1}{3}x=2$$

दोनूय कुशीनीं 3 न गुणचें.

$$x=6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=10$$