सोडोवचें {l}{0.3x-0.5y=29}{0.9x=0.2y+19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x - 0.5 y = 29 } \\ { 0.9 x = 0.2 y + 19 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{370}{39} = 9\frac{19}{39} \approx 9.487179487$$

$$y = -\frac{680}{13} = -52\frac{4}{13} \approx -52.307692308$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 0.2y वजा करचें.

$$0.9x-0.2y=19$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$0.3x-0.5y=29$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{y}{2} ची बेरीज करची.

$$0.3x=0.5y+29$$

0.3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=\frac{10}{3}\left(0.5y+29\right)$$

\frac{y}{2}+29क \frac{10}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}$$

0.9x-0.2y=19 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{5y+290}{3} बदलपी घेवचो.

$$0.9\left(\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}\right)-0.2y=19$$

\frac{5y+290}{3}क 0.9 फावटी गुणचें.

$$1.5y+87-0.2y=19$$

-\frac{y}{5} कडेन \frac{3y}{2} ची बेरीज करची.

$$1.3y+87=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 87 वजा करचें.

$$1.3y=-68$$

1.3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{680}{13}$$

x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3} त y खातीर -\frac{680}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{680}{13}\right)+\frac{290}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{680}{13} क \frac{5}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{3400}{39}+\frac{290}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{3400}{39} क \frac{290}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{370}{39}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 0.2y वजा करचें.

$$0.9x-0.2y=19$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&-\frac{-0.5}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\\-\frac{0.9}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}&\frac{50}{39}\\-\frac{30}{13}&\frac{10}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}\times 29+\frac{50}{39}\times 19\\-\frac{30}{13}\times 29+\frac{10}{13}\times 19\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{370}{39}\\-\frac{680}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 0.2y वजा करचें.

$$0.9x-0.2y=19$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

\frac{3x}{10} आनी \frac{9x}{10} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 0.9 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 0.3 न गुणचें.

$$0.9\times 0.3x+0.9\left(-0.5\right)y=0.9\times 29,0.3\times 0.9x+0.3\left(-0.2\right)y=0.3\times 19$$

सोंपें करचें.

$$0.27x-0.45y=26.1,0.27x-0.06y=5.7$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 0.27x-0.45y=26.1 तल्यान 0.27x-0.06y=5.7 वजा करचो.

$$0.27x-0.27x-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

-\frac{27x}{100} कडेन \frac{27x}{100} ची बेरीज करची. अटी \frac{27x}{100} आनी -\frac{27x}{100} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

\frac{3y}{50} कडेन -\frac{9y}{20} ची बेरीज करची.

$$-0.39y=\frac{261-57}{10}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -5.7 क 26.1 ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$-0.39y=20.4$$

-0.39 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{680}{13}$$

0.9x-0.2y=19 त y खातीर -\frac{680}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$0.9x-0.2\left(-\frac{680}{13}\right)=19$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{680}{13} क -0.2 फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$0.9x+\frac{136}{13}=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{136}{13} वजा करचें.

$$0.9x=\frac{111}{13}$$

0.9 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=\frac{370}{39}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$