सोडोवचें {l}{0.07r+0.02t=0.16}{0.05r-0.03t=0.21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.07 r + 0.02 t = 0.16 } \\ { 0.05 r - 0.03 t = 0.21 } \end{array} \right.$$

r, t खातीर सोडोवचें

$$r = \frac{90}{31} = 2\frac{28}{31} \approx 2.903225806$$

$$t = -\frac{67}{31} = -2\frac{5}{31} \approx -2.161290323$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक r वेगळावन r खातीर तें सोडोवचें.

$$0.07r+0.02t=0.16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{t}{50} वजा करचें.

$$0.07r=-0.02t+0.16$$

0.07 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$r=\frac{100}{7}\left(-0.02t+0.16\right)$$

-\frac{t}{50}+0.16क \frac{100}{7} फावटी गुणचें.

$$r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}$$

0.05r-0.03t=0.21 ह्या दुस-या समिकरणांत r खातीर \frac{-2t+16}{7} बदलपी घेवचो.

$$0.05\left(-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}\right)-0.03t=0.21$$

\frac{-2t+16}{7}क 0.05 फावटी गुणचें.

$$-\frac{1}{70}t+\frac{4}{35}-0.03t=0.21$$

-\frac{3t}{100} कडेन -\frac{t}{70} ची बेरीज करची.

$$-\frac{31}{700}t+\frac{4}{35}=0.21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{4}{35} वजा करचें.

$$-\frac{31}{700}t=\frac{67}{700}$$

-\frac{31}{700} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$t=-\frac{67}{31}$$

r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7} त t खातीर -\frac{67}{31} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी r खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$r=-\frac{2}{7}\left(-\frac{67}{31}\right)+\frac{16}{7}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{67}{31} क -\frac{2}{7} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$r=\frac{134}{217}+\frac{16}{7}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{134}{217} क \frac{16}{7} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$r=\frac{90}{31}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&-\frac{0.02}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\\-\frac{0.05}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&\frac{0.07}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}&\frac{200}{31}\\\frac{500}{31}&-\frac{700}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}\times 0.16+\frac{200}{31}\times 0.21\\\frac{500}{31}\times 0.16-\frac{700}{31}\times 0.21\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{31}\\-\frac{67}{31}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां r आनी t काडचीं.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

\frac{7r}{100} आनी \frac{r}{20} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 0.05 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 0.07 न गुणचें.

$$0.05\times 0.07r+0.05\times 0.02t=0.05\times 0.16,0.07\times 0.05r+0.07\left(-0.03\right)t=0.07\times 0.21$$

सोंपें करचें.

$$0.0035r+0.001t=0.008,0.0035r-0.0021t=0.0147$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 0.0035r+0.001t=0.008 तल्यान 0.0035r-0.0021t=0.0147 वजा करचो.

$$0.0035r-0.0035r+0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

-\frac{7r}{2000} कडेन \frac{7r}{2000} ची बेरीज करची. अटी \frac{7r}{2000} आनी -\frac{7r}{2000} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

\frac{21t}{10000} कडेन \frac{t}{1000} ची बेरीज करची.

$$0.0031t=0.008-0.0147$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -0.0147 क 0.008 ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$0.0031t=-0.0067$$

0.0031 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$t=-\frac{67}{31}$$

0.05r-0.03t=0.21 त t खातीर -\frac{67}{31} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी r खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$0.05r-0.03\left(-\frac{67}{31}\right)=0.21$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{67}{31} क -0.03 फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$0.05r+\frac{201}{3100}=0.21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{201}{3100} वजा करचें.

$$0.05r=\frac{9}{62}$$

दोनूय कुशीनीं 20 न गुणचें.

$$r=\frac{90}{31}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$