सोडोवचें {l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{130}{43} = 3\frac{1}{43} \approx 3.023255814$$

$$y = \frac{391}{43} = 9\frac{4}{43} \approx 9.093023256$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$0.6x+2y=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$0.6x=-2y+20$$

0.6 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

-2y+20क \frac{5}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

-4x+y+2=-1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-10y+100}{3} बदलपी घेवचो.

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

\frac{-10y+100}{3}क -4 फावटी गुणचें.

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

y कडेन \frac{40y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

2 कडेन -\frac{400}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{394}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

\frac{43}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{391}{43}$$

x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3} त y खातीर \frac{391}{43} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{391}{43} क -\frac{10}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{3910}{129} क \frac{100}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{130}{43}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0.6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0.6-2\left(-4\right)}&\frac{0.6}{0.6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

\frac{3x}{5} आनी -4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 0.6 न गुणचें.

$$-4\times 0.6x-4\times 2y=-4\times 20,0.6\left(-4\right)x+0.6y+0.6\times 2=0.6\left(-1\right)$$

सोंपें करचें.

$$-2.4x-8y=-80,-2.4x+0.6y+1.2=-0.6$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -2.4x-8y=-80 तल्यान -2.4x+0.6y+1.2=-0.6 वजा करचो.

$$-2.4x+2.4x-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

\frac{12x}{5} कडेन -\frac{12x}{5} ची बेरीज करची. अटी -\frac{12x}{5} आनी \frac{12x}{5} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

-\frac{3y}{5} कडेन -8y ची बेरीज करची.

$$-8.6y-1.2=-80+0.6$$

0.6 कडेन -80 ची बेरीज करची.

$$-8.6y-1.2=-79.4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1.2 ची बेरीज करची.

$$-8.6y=-78.2$$

-8.6 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{391}{43}$$

-4x+y+2=-1 त y खातीर \frac{391}{43} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

2 कडेन \frac{391}{43} ची बेरीज करची.

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{477}{43} वजा करचें.

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{130}{43}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$