सोडोवचें {l}{-x-2y=3}{4x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x - 2 y = 3 } \\ { 4 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = -\frac{17}{7} = -2\frac{3}{7} \approx -2.428571429$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-x-2y=3,4x+y=5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-x-2y=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$-x=2y+3$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=-\left(2y+3\right)$$

2y+3क -1 फावटी गुणचें.

$$x=-2y-3$$

4x+y=5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -2y-3 बदलपी घेवचो.

$$4\left(-2y-3\right)+y=5$$

-2y-3क 4 फावटी गुणचें.

$$-8y-12+y=5$$

y कडेन -8y ची बेरीज करची.

$$-7y-12=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 ची बेरीज करची.

$$-7y=17$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{17}{7}$$

x=-2y-3 त y खातीर -\frac{17}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2\left(-\frac{17}{7}\right)-3$$

-\frac{17}{7}क -2 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{34}{7}-3$$

\frac{34}{7} कडेन -3 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{13}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{13}{7},y=-\frac{17}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-x-2y=3,4x+y=5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&-2\\4&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 3+\frac{2}{7}\times 5\\-\frac{4}{7}\times 3-\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\\-\frac{17}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{13}{7},y=-\frac{17}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-x-2y=3,4x+y=5$$

-x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -1 न गुणचें.

$$4\left(-1\right)x+4\left(-2\right)y=4\times 3,-4x-y=-5$$

सोंपें करचें.

$$-4x-8y=12,-4x-y=-5$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -4x-8y=12 तल्यान -4x-y=-5 वजा करचो.

$$-4x+4x-8y+y=12+5$$

4x कडेन -4x ची बेरीज करची. अटी -4x आनी 4x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-8y+y=12+5$$

y कडेन -8y ची बेरीज करची.

$$-7y=12+5$$

5 कडेन 12 ची बेरीज करची.

$$-7y=17$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{17}{7}$$

4x+y=5 त y खातीर -\frac{17}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x-\frac{17}{7}=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{17}{7} ची बेरीज करची.

$$4x=\frac{52}{7}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{13}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{13}{7},y=-\frac{17}{7}$$