सोडोवचें {l}{-5x+y=-12}{5y=10x-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 12 } \\ { 5 y = 10 x - 15 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 10x वजा करचें.

$$5y-10x=-15$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-5x+y=-12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$-5x=-y-12$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-12\right)$$

-y-12क -\frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}$$

-10x+5y=-15 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{12+y}{5} बदलपी घेवचो.

$$-10\left(\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}\right)+5y=-15$$

\frac{12+y}{5}क -10 फावटी गुणचें.

$$-2y-24+5y=-15$$

5y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$3y-24=-15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 24 ची बेरीज करची.

$$3y=9$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=3$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5} त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{12}{5}$$

3क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3+12}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{3}{5} क \frac{12}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 10x वजा करचें.

$$5y-10x=-15$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{1}{-5\times 5-\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{15}\left(-15\right)\\-\frac{2}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 10x वजा करचें.

$$5y-10x=-15$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

-5x आनी -10x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -10 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न गुणचें.

$$-10\left(-5\right)x-10y=-10\left(-12\right),-5\left(-10\right)x-5\times 5y=-5\left(-15\right)$$

सोंपें करचें.

$$50x-10y=120,50x-25y=75$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 50x-10y=120 तल्यान 50x-25y=75 वजा करचो.

$$50x-50x-10y+25y=120-75$$

-50x कडेन 50x ची बेरीज करची. अटी 50x आनी -50x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-10y+25y=120-75$$

25y कडेन -10y ची बेरीज करची.

$$15y=120-75$$

-75 कडेन 120 ची बेरीज करची.

$$15y=45$$

दोनुय कुशींक 15 न भाग लावचो.

$$y=3$$

-10x+5y=-15 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-10x+5\times 3=-15$$

3क 5 फावटी गुणचें.

$$-10x+15=-15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 वजा करचें.

$$-10x=-30$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=3$$