सोडोवचें {l}{-4x+3y=13}{15x+3y=-6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x + 3 y = 13 } \\ { 15 x + 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-1$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-4x+3y=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$-4x=-3y+13$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

-3y+13क -\frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}$$

15x+3y=-6 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3y-13}{4} बदलपी घेवचो.

$$15\left(\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}\right)+3y=-6$$

\frac{3y-13}{4}क 15 फावटी गुणचें.

$$\frac{45}{4}y-\frac{195}{4}+3y=-6$$

3y कडेन \frac{45y}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{57}{4}y-\frac{195}{4}=-6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{195}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{57}{4}y=\frac{171}{4}$$

\frac{57}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=3$$

x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4} त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{4}\times 3-\frac{13}{4}$$

3क \frac{3}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{9-13}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{9}{4} क -\frac{13}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-1,y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}\\-\frac{15}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{4}{-4\times 3-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{5}{19}&\frac{4}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 13+\frac{1}{19}\left(-6\right)\\\frac{5}{19}\times 13+\frac{4}{57}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-1,y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -4x+3y=13 तल्यान 15x+3y=-6 वजा करचो.

$$-4x-15x+3y-3y=13+6$$

-3y कडेन 3y ची बेरीज करची. अटी 3y आनी -3y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-4x-15x=13+6$$

-15x कडेन -4x ची बेरीज करची.

$$-19x=13+6$$

6 कडेन 13 ची बेरीज करची.

$$-19x=19$$

दोनुय कुशींक -19 न भाग लावचो.

$$x=-1$$

15x+3y=-6 त x खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$15\left(-1\right)+3y=-6$$

-1क 15 फावटी गुणचें.

$$-15+3y=-6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 ची बेरीज करची.

$$3y=9$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-1,y=3$$