सोडोवचें {l}{-3x+2y=1}{y=-2x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 2 y = 1 } \\ { y = - 2 x + 3 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

$$y = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 2x जोडचे.

$$y+2x=3$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-3x+2y=1,2x+y=3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-3x+2y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$-3x=-2y+1$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2y+1\right)$$

-2y+1क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}$$

2x+y=3 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{2y-1}{3} बदलपी घेवचो.

$$2\left(\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}\right)+y=3$$

\frac{2y-1}{3}क 2 फावटी गुणचें.

$$\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}+y=3$$

y कडेन \frac{4y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{7}{3}y-\frac{2}{3}=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{2}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{7}{3}y=\frac{11}{3}$$

\frac{7}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{11}{7}$$

x=\frac{2}{3}y-\frac{1}{3} त y खातीर \frac{11}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{11}{7}-\frac{1}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{11}{7} क \frac{2}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{22}{21}-\frac{1}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{22}{21} क -\frac{1}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{5}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{5}{7},y=\frac{11}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 2x जोडचे.

$$y+2x=3$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-3x+2y=1,2x+y=3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&2\\2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&-\frac{3}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}+\frac{2}{7}\times 3\\\frac{2}{7}+\frac{3}{7}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{5}{7},y=\frac{11}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 2x जोडचे.

$$y+2x=3$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-3x+2y=1,2x+y=3$$

-3x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न गुणचें.

$$2\left(-3\right)x+2\times 2y=2,-3\times 2x-3y=-3\times 3$$

सोंपें करचें.

$$-6x+4y=2,-6x-3y=-9$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -6x+4y=2 तल्यान -6x-3y=-9 वजा करचो.

$$-6x+6x+4y+3y=2+9$$

6x कडेन -6x ची बेरीज करची. अटी -6x आनी 6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4y+3y=2+9$$

3y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$7y=2+9$$

9 कडेन 2 ची बेरीज करची.

$$7y=11$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{11}{7}$$

2x+y=3 त y खातीर \frac{11}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+\frac{11}{7}=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{11}{7} वजा करचें.

$$2x=\frac{10}{7}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{5}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{5}{7},y=\frac{11}{7}$$