सोडोवचें {l}{-2x+y=-5}{5x-2y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + y = - 5 } \\ { 5 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=-3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-2x+y=-5,5x-2y=11$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-2x+y=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$-2x=-y-5$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-y-5\right)$$

-y-5क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

5x-2y=11 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{5+y}{2} बदलपी घेवचो.

$$5\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)-2y=11$$

\frac{5+y}{2}क 5 फावटी गुणचें.

$$\frac{5}{2}y+\frac{25}{2}-2y=11$$

-2y कडेन \frac{5y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}=11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{25}{2} वजा करचें.

$$\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

दोनूय कुशीनीं 2 न गुणचें.

$$y=-3$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3\right)+\frac{5}{2}$$

-3क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{3}{2} क \frac{5}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-2x+y=-5,5x-2y=11$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-5}&-\frac{1}{-2\left(-2\right)-5}\\-\frac{5}{-2\left(-2\right)-5}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-5\right)+11\\5\left(-5\right)+2\times 11\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=-3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-2x+y=-5,5x-2y=11$$

-2x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न गुणचें.

$$5\left(-2\right)x+5y=5\left(-5\right),-2\times 5x-2\left(-2\right)y=-2\times 11$$

सोंपें करचें.

$$-10x+5y=-25,-10x+4y=-22$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -10x+5y=-25 तल्यान -10x+4y=-22 वजा करचो.

$$-10x+10x+5y-4y=-25+22$$

10x कडेन -10x ची बेरीज करची. अटी -10x आनी 10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$5y-4y=-25+22$$

-4y कडेन 5y ची बेरीज करची.

$$y=-25+22$$

22 कडेन -25 ची बेरीज करची.

$$y=-3$$

5x-2y=11 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x-2\left(-3\right)=11$$

-3क -2 फावटी गुणचें.

$$5x+6=11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 वजा करचें.

$$5x=5$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-3$$