सोडोवचें {l}{-10x-3y=9}{-5x+5y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x - 3 y = 9 } \\ { - 5 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-10x-3y=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$-10x=3y+9$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{10}\left(3y+9\right)$$

9+3yक -\frac{1}{10} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}$$

-5x+5y=-2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y-9}{10} बदलपी घेवचो.

$$-5\left(-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}\right)+5y=-2$$

\frac{-3y-9}{10}क -5 फावटी गुणचें.

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+5y=-2$$

5y कडेन \frac{3y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{13}{2}y+\frac{9}{2}=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9}{2} वजा करचें.

$$\frac{13}{2}y=-\frac{13}{2}$$

\frac{13}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-1$$

x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10} त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{10}\left(-1\right)-\frac{9}{10}$$

-1क -\frac{3}{10} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3-9}{10}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{3}{10} क -\frac{9}{10} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{3}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{3}{65}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 9-\frac{3}{65}\left(-2\right)\\-\frac{1}{13}\times 9+\frac{2}{13}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

-10x आनी -5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -10 न गुणचें.

$$-5\left(-10\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 9,-10\left(-5\right)x-10\times 5y=-10\left(-2\right)$$

सोंपें करचें.

$$50x+15y=-45,50x-50y=20$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 50x+15y=-45 तल्यान 50x-50y=20 वजा करचो.

$$50x-50x+15y+50y=-45-20$$

-50x कडेन 50x ची बेरीज करची. अटी 50x आनी -50x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$15y+50y=-45-20$$

50y कडेन 15y ची बेरीज करची.

$$65y=-45-20$$

-20 कडेन -45 ची बेरीज करची.

$$65y=-65$$

दोनुय कुशींक 65 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

-5x+5y=-2 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-5x+5\left(-1\right)=-2$$

-1क 5 फावटी गुणचें.

$$-5x-5=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 ची बेरीज करची.

$$-5x=3$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{3}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$