सोडोवचें {l}{-10x+3y=-2}{4x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x + 3 y = - 2 } \\ { 4 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=11$$

$$y=36$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-10x+3y=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$-10x=-3y-2$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-3y-2\right)$$

-3y-2क -\frac{1}{10} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}$$

4x-y=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3y}{10}+\frac{1}{5} बदलपी घेवचो.

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}\right)-y=8$$

\frac{3y}{10}+\frac{1}{5}क 4 फावटी गुणचें.

$$\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}-y=8$$

-y कडेन \frac{6y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{4}{5} वजा करचें.

$$\frac{1}{5}y=\frac{36}{5}$$

दोनूय कुशीनीं 5 न गुणचें.

$$y=36$$

x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5} त y खातीर 36 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{10}\times 36+\frac{1}{5}$$

36क \frac{3}{10} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{54+1}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{54}{5} क \frac{1}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=11$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=11,y=36$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}\times 8\\2\left(-2\right)+5\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=11,y=36$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

-10x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -10 न गुणचें.

$$4\left(-10\right)x+4\times 3y=4\left(-2\right),-10\times 4x-10\left(-1\right)y=-10\times 8$$

सोंपें करचें.

$$-40x+12y=-8,-40x+10y=-80$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -40x+12y=-8 तल्यान -40x+10y=-80 वजा करचो.

$$-40x+40x+12y-10y=-8+80$$

40x कडेन -40x ची बेरीज करची. अटी -40x आनी 40x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12y-10y=-8+80$$

-10y कडेन 12y ची बेरीज करची.

$$2y=-8+80$$

80 कडेन -8 ची बेरीज करची.

$$2y=72$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=36$$

4x-y=8 त y खातीर 36 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x-36=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 36 ची बेरीज करची.

$$4x=44$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=11$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=11,y=36$$