सोडोवचें {l}{-(-x-y)-4(y-x)=8}{3x-1+2(y+3)-5=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - ( - x - y ) - 4 ( y - x ) = 8 } \\ { 3 x - 1 + 2 ( y + 3 ) - 5 = 20 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. -x-y चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

y-x न -4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

-3y मेळोवंक y आनी -4y एकठांय करचें.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

1 मेळोवंक -1 आनी -1 गुणचें.

$$x-3y+4x=8$$

5x मेळोवंक x आनी 4x एकठांय करचें.

$$5x-3y=8$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. y+3 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

5 मेळोवंक -1 आनी 6 ची बेरीज करची.

$$3x+5+2y-5=20$$

0 मेळोवंक 5 आनी 5 वजा करचे.

$$3x+2y=20$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-3y=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$5x=3y+8$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)$$

3y+8क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

3x+2y=20 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3y+8}{5} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20$$

\frac{3y+8}{5}क 3 फावटी गुणचें.

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20$$

2y कडेन \frac{9y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{24}{5} वजा करचें.

$$\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}$$

\frac{19}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=4$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5} त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}$$

4क \frac{3}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{12}{5} क \frac{8}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. -x-y चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

y-x न -4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

-3y मेळोवंक y आनी -4y एकठांय करचें.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

1 मेळोवंक -1 आनी -1 गुणचें.

$$x-3y+4x=8$$

5x मेळोवंक x आनी 4x एकठांय करचें.

$$5x-3y=8$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. y+3 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

5 मेळोवंक -1 आनी 6 ची बेरीज करची.

$$3x+5+2y-5=20$$

0 मेळोवंक 5 आनी 5 वजा करचे.

$$3x+2y=20$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=4,y=4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. -x-y चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

y-x न -4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

-3y मेळोवंक y आनी -4y एकठांय करचें.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

1 मेळोवंक -1 आनी -1 गुणचें.

$$x-3y+4x=8$$

5x मेळोवंक x आनी 4x एकठांय करचें.

$$5x-3y=8$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. y+3 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

5 मेळोवंक -1 आनी 6 ची बेरीज करची.

$$3x+5+2y-5=20$$

0 मेळोवंक 5 आनी 5 वजा करचे.

$$3x+2y=20$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

5x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

सोंपें करचें.

$$15x-9y=24,15x+10y=100$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 15x-9y=24 तल्यान 15x+10y=100 वजा करचो.

$$15x-15x-9y-10y=24-100$$

-15x कडेन 15x ची बेरीज करची. अटी 15x आनी -15x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-9y-10y=24-100$$

-10y कडेन -9y ची बेरीज करची.

$$-19y=24-100$$

-100 कडेन 24 ची बेरीज करची.

$$-19y=-76$$

दोनुय कुशींक -19 न भाग लावचो.

$$y=4$$

3x+2y=20 त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+2\times 4=20$$

4क 2 फावटी गुणचें.

$$3x+8=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$3x=12$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=4$$