सोडोवचें {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=0$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. बायनोमियल प्रमेयाचो वापर करून \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} विस्तारावचें \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

5 मेळोवंक 4 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

दोनूय कुशींतल्यान x^{2} वजा करचें.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

0 मेळोवंक x^{2} आनी -x^{2} एकठांय करचें.

$$4x+5=5y$$

दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$4x+5-5y=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$4x-5y=-5$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x-5y=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y ची बेरीज करची.

$$4x=5y-5$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

-5+5yक \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

3x+y=1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5+5y}{4} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

\frac{-5+5y}{4}क 3 फावटी गुणचें.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

y कडेन \frac{15y}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{15}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

\frac{19}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=1$$

x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4} त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{5}{4} क -\frac{5}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. बायनोमियल प्रमेयाचो वापर करून \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} विस्तारावचें \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

5 मेळोवंक 4 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

दोनूय कुशींतल्यान x^{2} वजा करचें.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

0 मेळोवंक x^{2} आनी -x^{2} एकठांय करचें.

$$4x+5=5y$$

दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$4x+5-5y=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$4x-5y=-5$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=0,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. बायनोमियल प्रमेयाचो वापर करून \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} विस्तारावचें \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

5 मेळोवंक 4 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

दोनूय कुशींतल्यान x^{2} वजा करचें.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

0 मेळोवंक x^{2} आनी -x^{2} एकठांय करचें.

$$4x+5=5y$$

दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$4x+5-5y=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$4x-5y=-5$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

4x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

सोंपें करचें.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12x-15y=-15 तल्यान 12x+4y=4 वजा करचो.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

-12x कडेन 12x ची बेरीज करची. अटी 12x आनी -12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-15y-4y=-15-4$$

-4y कडेन -15y ची बेरीज करची.

$$-19y=-15-4$$

-4 कडेन -15 ची बेरीज करची.

$$-19y=-19$$

दोनुय कुशींक -19 न भाग लावचो.

$$y=1$$

3x+y=1 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+1=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$3x=0$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=1$$