सोडोवचें {l}{(a+2012)-2(b-2013)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 2013 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

a, b खातीर सोडोवचें

$$a = -\frac{10049}{5} = -2009\frac{4}{5} = -2009.8$$

$$b = \frac{10063}{5} = 2012\frac{3}{5} = 2012.6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a वेगळावन a खातीर तें सोडोवचें.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

b-2013क -2 फावटी गुणचें.

$$a-2b+4026+2012=3$$

2012 कडेन 4026 ची बेरीज करची.

$$a-2b+6038=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6038 वजा करचें.

$$a-2b=-6035$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2b ची बेरीज करची.

$$a=2b-6035$$

3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5 ह्या दुस-या समिकरणांत a खातीर 2b-6035 बदलपी घेवचो.

$$3\left(2b-6035+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

2012 कडेन -6035 ची बेरीज करची.

$$3\left(2b-4023\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

2b-4023क 3 फावटी गुणचें.

$$6b-12069+4\left(b-2013\right)=5$$

b-2013क 4 फावटी गुणचें.

$$6b-12069+4b-8052=5$$

4b कडेन 6b ची बेरीज करची.

$$10b-12069-8052=5$$

-8052 कडेन -12069 ची बेरीज करची.

$$10b-20121=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20121 ची बेरीज करची.

$$10b=20126$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$b=\frac{10063}{5}$$

a=2b-6035 त b खातीर \frac{10063}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a=2\times \frac{10063}{5}-6035$$

\frac{10063}{5}क 2 फावटी गुणचें.

$$a=\frac{20126}{5}-6035$$

\frac{20126}{5} कडेन -6035 ची बेरीज करची.

$$a=-\frac{10049}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

पयलें समिकरण तें प्रमाणित स्वरूपांत घालूंक तें सोंपें करचें.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

b-2013क -2 फावटी गुणचें.

$$a-2b+4026+2012=3$$

2012 कडेन 4026 ची बेरीज करची.

$$a-2b+6038=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6038 वजा करचें.

$$a-2b=-6035$$

दुसरें समिकरण तें प्रमाणित स्वरूपांत घालूंक तें सोंपें करचें.

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

a+2012क 3 फावटी गुणचें.

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

b-2013क 4 फावटी गुणचें.

$$3a+6036+4b-8052=5$$

-8052 कडेन 6036 ची बेरीज करची.

$$3a+4b-2016=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2016 ची बेरीज करची.

$$3a+4b=2021$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6035\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-6035\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10049}{5}\\\frac{10063}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a आनी b काडचीं.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$