सोडोवचें {l}{x/6-y/5=-4}{x/4-y/6=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - \frac { y } { 5 } = - 4 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 6 } = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=12$$

$$y=30$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 30 वरवीं गुणाकार करच्यो, 6,5 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5x-6y=-120$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 4,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3x-2y=-24$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-6y=-120$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6y ची बेरीज करची.

$$5x=6y-120$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-120\right)$$

-120+6yक \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{6}{5}y-24$$

3x-2y=-24 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{6y}{5}-24 बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{6}{5}y-24\right)-2y=-24$$

\frac{6y}{5}-24क 3 फावटी गुणचें.

$$\frac{18}{5}y-72-2y=-24$$

-2y कडेन \frac{18y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{8}{5}y-72=-24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 72 ची बेरीज करची.

$$\frac{8}{5}y=48$$

\frac{8}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=30$$

x=\frac{6}{5}y-24 त y खातीर 30 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{6}{5}\times 30-24$$

30क \frac{6}{5} फावटी गुणचें.

$$x=36-24$$

36 कडेन -24 ची बेरीज करची.

$$x=12$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=12,y=30$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 30 वरवीं गुणाकार करच्यो, 6,5 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5x-6y=-120$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 4,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3x-2y=-24$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-120\right)+\frac{3}{4}\left(-24\right)\\-\frac{3}{8}\left(-120\right)+\frac{5}{8}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=12,y=30$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 30 वरवीं गुणाकार करच्यो, 6,5 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5x-6y=-120$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 4,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3x-2y=-24$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

5x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\left(-120\right),5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-24\right)$$

सोंपें करचें.

$$15x-18y=-360,15x-10y=-120$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 15x-18y=-360 तल्यान 15x-10y=-120 वजा करचो.

$$15x-15x-18y+10y=-360+120$$

-15x कडेन 15x ची बेरीज करची. अटी 15x आनी -15x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-18y+10y=-360+120$$

10y कडेन -18y ची बेरीज करची.

$$-8y=-360+120$$

120 कडेन -360 ची बेरीज करची.

$$-8y=-240$$

दोनुय कुशींक -8 न भाग लावचो.

$$y=30$$

3x-2y=-24 त y खातीर 30 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x-2\times 30=-24$$

30क -2 फावटी गुणचें.

$$3x-60=-24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 60 ची बेरीज करची.

$$3x=36$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=12$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=12,y=30$$