सोडोवचें {l}{x/4+y/3=7}{2/3x+y/2=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 3 } = 7 } \\ { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { y } { 2 } = 14 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=12$$

$$y=12$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{y}{3} वजा करचें.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{3}y+7$$

दोनूय कुशीनीं 4 न गुणचें.

$$x=4\left(-\frac{1}{3}y+7\right)$$

-\frac{y}{3}+7क 4 फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{4}{3}y+28$$

\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{4y}{3}+28 बदलपी घेवचो.

$$\frac{2}{3}\left(-\frac{4}{3}y+28\right)+\frac{1}{2}y=14$$

-\frac{4y}{3}+28क \frac{2}{3} फावटी गुणचें.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{56}{3}+\frac{1}{2}y=14$$

\frac{y}{2} कडेन -\frac{8y}{9} ची बेरीज करची.

$$-\frac{7}{18}y+\frac{56}{3}=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{56}{3} वजा करचें.

$$-\frac{7}{18}y=-\frac{14}{3}$$

-\frac{7}{18} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=12$$

x=-\frac{4}{3}y+28 त y खातीर 12 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{4}{3}\times 12+28$$

12क -\frac{4}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-16+28$$

-16 कडेन 28 ची बेरीज करची.

$$x=12$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=12,y=12$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}&\frac{24}{7}\\\frac{48}{7}&-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}\times 7+\frac{24}{7}\times 14\\\frac{48}{7}\times 7-\frac{18}{7}\times 14\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=12,y=12$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

\frac{x}{4} आनी \frac{2x}{3} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{2}{3} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{1}{4} न गुणचें.

$$\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}x+\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{2}{3}\times 7,\frac{1}{4}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{4}\times 14$$

सोंपें करचें.

$$\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2}$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3} तल्यान \frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2} वजा करचो.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

-\frac{x}{6} कडेन \frac{x}{6} ची बेरीज करची. अटी \frac{x}{6} आनी -\frac{x}{6} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

-\frac{y}{8} कडेन \frac{2y}{9} ची बेरीज करची.

$$\frac{7}{72}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{7}{2} क \frac{14}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$\frac{7}{72}y=\frac{7}{6}$$

\frac{7}{72} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=12$$

\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14 त y खातीर 12 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\times 12=14$$

12क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$\frac{2}{3}x+6=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 वजा करचें.

$$\frac{2}{3}x=8$$

\frac{2}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=12$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=12,y=12$$