सोडोवचें {l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

2 मेळोवंक 1 आनी 2 गुणचें.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

3 मेळोवंक 2 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$3x+y=3\times 3$$

9 मेळोवंक 3 आनी 3 गुणचें.

$$3x+y=9$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 15 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\times 2x-5y=-3$$

6 मेळोवंक 3 आनी 2 गुणचें.

$$6x-5y=-3$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+y=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x=-y+9$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

-y+9क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

6x-5y=-3 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{3}+3 बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

-\frac{y}{3}+3क 6 फावटी गुणचें.

$$-2y+18-5y=-3$$

-5y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$-7y+18=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18 वजा करचें.

$$-7y=-21$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=3$$

x=-\frac{1}{3}y+3 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

3क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-1+3$$

-1 कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

2 मेळोवंक 1 आनी 2 गुणचें.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

3 मेळोवंक 2 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$3x+y=3\times 3$$

9 मेळोवंक 3 आनी 3 गुणचें.

$$3x+y=9$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 15 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\times 2x-5y=-3$$

6 मेळोवंक 3 आनी 2 गुणचें.

$$6x-5y=-3$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=2,y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

2 मेळोवंक 1 आनी 2 गुणचें.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

3 मेळोवंक 2 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$3x+y=3\times 3$$

9 मेळोवंक 3 आनी 3 गुणचें.

$$3x+y=9$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 15 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\times 2x-5y=-3$$

6 मेळोवंक 3 आनी 2 गुणचें.

$$6x-5y=-3$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

3x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

सोंपें करचें.

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 18x+6y=54 तल्यान 18x-15y=-9 वजा करचो.

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

-18x कडेन 18x ची बेरीज करची. अटी 18x आनी -18x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6y+15y=54+9$$

15y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$21y=54+9$$

9 कडेन 54 ची बेरीज करची.

$$21y=63$$

दोनुय कुशींक 21 न भाग लावचो.

$$y=3$$

6x-5y=-3 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x-5\times 3=-3$$

3क -5 फावटी गुणचें.

$$6x-15=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 ची बेरीज करची.

$$6x=12$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=3$$