सोडोवचें {l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=0$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$x+y+2-3y=6$$

-2y मेळोवंक y आनी -3y एकठांय करचें.

$$x-2y+2=6$$

दोनूय कुशींतल्यान 2 वजा करचें.

$$x-2y=6-2$$

4 मेळोवंक 6 आनी 2 वजा करचे.

$$x-2y=4$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

4 मेळोवंक 2 आनी 2 गुणचें.

$$3x+4y=6x-8$$

दोनूय कुशींतल्यान 6x वजा करचें.

$$3x+4y-6x=-8$$

-3x मेळोवंक 3x आनी -6x एकठांय करचें.

$$-3x+4y=-8$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-2y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$x=2y+4$$

-3x+4y=-8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 4+2y बदलपी घेवचो.

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

4+2yक -3 फावटी गुणचें.

$$-6y-12+4y=-8$$

4y कडेन -6y ची बेरीज करची.

$$-2y-12=-8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 ची बेरीज करची.

$$-2y=4$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

x=2y+4 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=2\left(-2\right)+4$$

-2क 2 फावटी गुणचें.

$$x=-4+4$$

-4 कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$x+y+2-3y=6$$

-2y मेळोवंक y आनी -3y एकठांय करचें.

$$x-2y+2=6$$

दोनूय कुशींतल्यान 2 वजा करचें.

$$x-2y=6-2$$

4 मेळोवंक 6 आनी 2 वजा करचे.

$$x-2y=4$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

4 मेळोवंक 2 आनी 2 गुणचें.

$$3x+4y=6x-8$$

दोनूय कुशींतल्यान 6x वजा करचें.

$$3x+4y-6x=-8$$

-3x मेळोवंक 3x आनी -6x एकठांय करचें.

$$-3x+4y=-8$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=0,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$x+y+2-3y=6$$

-2y मेळोवंक y आनी -3y एकठांय करचें.

$$x-2y+2=6$$

दोनूय कुशींतल्यान 2 वजा करचें.

$$x-2y=6-2$$

4 मेळोवंक 6 आनी 2 वजा करचे.

$$x-2y=4$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

4 मेळोवंक 2 आनी 2 गुणचें.

$$3x+4y=6x-8$$

दोनूय कुशींतल्यान 6x वजा करचें.

$$3x+4y-6x=-8$$

-3x मेळोवंक 3x आनी -6x एकठांय करचें.

$$-3x+4y=-8$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

x आनी -3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

सोंपें करचें.

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -3x+6y=-12 तल्यान -3x+4y=-8 वजा करचो.

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

3x कडेन -3x ची बेरीज करची. अटी -3x आनी 3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6y-4y=-12+8$$

-4y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$2y=-12+8$$

8 कडेन -12 ची बेरीज करची.

$$2y=-4$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

-3x+4y=-8 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

-2क 4 फावटी गुणचें.

$$-3x-8=-8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 ची बेरीज करची.

$$-3x=0$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-2$$