सोडोवचें {l}{x+3y/3=y+1/2+3x/4}{3x+5y/5=frac{x+4}{2}-frac{x+y+9}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 3 y } { 3 } = \frac { y + 1 } { 2 } + \frac { 3 x } { 4 } } \\ { \frac { 3 x + 5 y } { 5 } = \frac { x + 4 } { 2 } - \frac { x + y + 9 } { 10 } } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=0$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,2,4 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

x+3y न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

y+1 न 6 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

9 मेळोवंक 3 आनी 3 गुणचें.

$$4x+12y=6y+6+9x$$

दोनूय कुशींतल्यान 6y वजा करचें.

$$4x+12y-6y=6+9x$$

6y मेळोवंक 12y आनी -6y एकठांय करचें.

$$4x+6y=6+9x$$

दोनूय कुशींतल्यान 9x वजा करचें.

$$4x+6y-9x=6$$

-5x मेळोवंक 4x आनी -9x एकठांय करचें.

$$-5x+6y=6$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 10 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,2,10 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

3x+5y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

x+4 न 5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

x+y+9 चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

4x मेळोवंक 5x आनी -x एकठांय करचें.

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

11 मेळोवंक 20 आनी 9 वजा करचे.

$$6x+10y=4x+11-y$$

दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$6x+10y-4x=11-y$$

2x मेळोवंक 6x आनी -4x एकठांय करचें.

$$2x+10y=11-y$$

दोनूय वटांनी y जोडचे.

$$2x+10y+y=11$$

11y मेळोवंक 10y आनी y एकठांय करचें.

$$2x+11y=11$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-5x+6y=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6y वजा करचें.

$$-5x=-6y+6$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-6y+6\right)$$

-6y+6क -\frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}$$

2x+11y=11 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-6+6y}{5} बदलपी घेवचो.

$$2\left(\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}\right)+11y=11$$

\frac{-6+6y}{5}क 2 फावटी गुणचें.

$$\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+11y=11$$

11y कडेन \frac{12y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{67}{5}y-\frac{12}{5}=11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{12}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{67}{5}y=\frac{67}{5}$$

\frac{67}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=1$$

x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5} त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{6-6}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{6}{5} क -\frac{6}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,2,4 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

x+3y न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

y+1 न 6 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

9 मेळोवंक 3 आनी 3 गुणचें.

$$4x+12y=6y+6+9x$$

दोनूय कुशींतल्यान 6y वजा करचें.

$$4x+12y-6y=6+9x$$

6y मेळोवंक 12y आनी -6y एकठांय करचें.

$$4x+6y=6+9x$$

दोनूय कुशींतल्यान 9x वजा करचें.

$$4x+6y-9x=6$$

-5x मेळोवंक 4x आनी -9x एकठांय करचें.

$$-5x+6y=6$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 10 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,2,10 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

3x+5y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

x+4 न 5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

x+y+9 चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

4x मेळोवंक 5x आनी -x एकठांय करचें.

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

11 मेळोवंक 20 आनी 9 वजा करचे.

$$6x+10y=4x+11-y$$

दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$6x+10y-4x=11-y$$

2x मेळोवंक 6x आनी -4x एकठांय करचें.

$$2x+10y=11-y$$

दोनूय वटांनी y जोडचे.

$$2x+10y+y=11$$

11y मेळोवंक 10y आनी y एकठांय करचें.

$$2x+11y=11$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{6}{-5\times 11-6\times 2}\\-\frac{2}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{5}{-5\times 11-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}&\frac{6}{67}\\\frac{2}{67}&\frac{5}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}\times 6+\frac{6}{67}\times 11\\\frac{2}{67}\times 6+\frac{5}{67}\times 11\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=0,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,2,4 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

x+3y न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

y+1 न 6 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

9 मेळोवंक 3 आनी 3 गुणचें.

$$4x+12y=6y+6+9x$$

दोनूय कुशींतल्यान 6y वजा करचें.

$$4x+12y-6y=6+9x$$

6y मेळोवंक 12y आनी -6y एकठांय करचें.

$$4x+6y=6+9x$$

दोनूय कुशींतल्यान 9x वजा करचें.

$$4x+6y-9x=6$$

-5x मेळोवंक 4x आनी -9x एकठांय करचें.

$$-5x+6y=6$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 10 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,2,10 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

3x+5y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

x+4 न 5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

x+y+9 चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

4x मेळोवंक 5x आनी -x एकठांय करचें.

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

11 मेळोवंक 20 आनी 9 वजा करचे.

$$6x+10y=4x+11-y$$

दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$6x+10y-4x=11-y$$

2x मेळोवंक 6x आनी -4x एकठांय करचें.

$$2x+10y=11-y$$

दोनूय वटांनी y जोडचे.

$$2x+10y+y=11$$

11y मेळोवंक 10y आनी y एकठांय करचें.

$$2x+11y=11$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

-5x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न गुणचें.

$$2\left(-5\right)x+2\times 6y=2\times 6,-5\times 2x-5\times 11y=-5\times 11$$

सोंपें करचें.

$$-10x+12y=12,-10x-55y=-55$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -10x+12y=12 तल्यान -10x-55y=-55 वजा करचो.

$$-10x+10x+12y+55y=12+55$$

10x कडेन -10x ची बेरीज करची. अटी -10x आनी 10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12y+55y=12+55$$

55y कडेन 12y ची बेरीज करची.

$$67y=12+55$$

55 कडेन 12 ची बेरीज करची.

$$67y=67$$

दोनुय कुशींक 67 न भाग लावचो.

$$y=1$$

2x+11y=11 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+11=11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 11 वजा करचें.

$$2x=0$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=1$$