सोडोवचें {l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल y हो -5,0 च्या खंयच्याच मोलांकडेन समान आसूंक शकना. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू y\left(y+5\right) वरवीं गुणाकार करच्यो, y+5,y चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+2 न y गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+7 न y+5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

दोनूय कुशींतल्यान yx वजा करचें.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 मेळोवंक yx आनी -yx एकठांय करचें.

$$2y=7y+5x+35$$

दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y मेळोवंक 2y आनी -7y एकठांय करचें.

$$-5y=5x+35$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

35+5xक -\frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$y=-x-7$$

-4y+2x=-1 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर -x-7 बदलपी घेवचो.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

-x-7क -4 फावटी गुणचें.

$$4x+28+2x=-1$$

2x कडेन 4x ची बेरीज करची.

$$6x+28=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 28 वजा करचें.

$$6x=-29$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{29}{6}$$

y=-x-7 त x खातीर -\frac{29}{6} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

-\frac{29}{6}क -1 फावटी गुणचें.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

\frac{29}{6} कडेन -7 ची बेरीज करची.

$$y=-\frac{13}{6}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल y हो -5,0 च्या खंयच्याच मोलांकडेन समान आसूंक शकना. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू y\left(y+5\right) वरवीं गुणाकार करच्यो, y+5,y चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+2 न y गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+7 न y+5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

दोनूय कुशींतल्यान yx वजा करचें.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 मेळोवंक yx आनी -yx एकठांय करचें.

$$2y=7y+5x+35$$

दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y मेळोवंक 2y आनी -7y एकठांय करचें.

$$-5y=5x+35$$

दोनूय कुशींतल्यान 5x वजा करचें.

$$-5y-5x=35$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल y हो -5,0 च्या खंयच्याच मोलांकडेन समान आसूंक शकना. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू y\left(y+5\right) वरवीं गुणाकार करच्यो, y+5,y चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+2 न y गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+7 न y+5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

दोनूय कुशींतल्यान yx वजा करचें.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 मेळोवंक yx आनी -yx एकठांय करचें.

$$2y=7y+5x+35$$

दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y मेळोवंक 2y आनी -7y एकठांय करचें.

$$-5y=5x+35$$

दोनूय कुशींतल्यान 5x वजा करचें.

$$-5y-5x=35$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

-5y आनी -4y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न गुणचें.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

सोंपें करचें.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 20y+20x=-140 तल्यान 20y-10x=5 वजा करचो.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

-20y कडेन 20y ची बेरीज करची. अटी 20y आनी -20y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$20x+10x=-140-5$$

10x कडेन 20x ची बेरीज करची.

$$30x=-140-5$$

-5 कडेन -140 ची बेरीज करची.

$$30x=-145$$

दोनुय कुशींक 30 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{29}{6}$$

-4y+2x=-1 त x खातीर -\frac{29}{6} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

-\frac{29}{6}क 2 फावटी गुणचें.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{29}{3} ची बेरीज करची.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{13}{6}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$