सोडोवचें {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 40 वरवीं गुणाकार करच्यो, 4,10,8 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 मेळोवंक 10 आनी 5 गुणचें.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x-3 न 50 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 मेळोवंक -4 आनी 3 गुणचें.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

2y+1 न -12 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 मेळोवंक -150 आनी 12 वजा करचे.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x+y+1 न -7 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 मेळोवंक 4 आनी 7 वजा करचे.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

-3-7x-7y न 5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

दोनूय वटांनी 35x जोडचे.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x मेळोवंक 50x आनी 35x एकठांय करचें.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

दोनूय वटांनी 35y जोडचे.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y मेळोवंक -24y आनी 35y एकठांय करचें.

$$85x-162+11y=-15$$

दोनूय वटांनी 162 जोडचे.

$$85x+11y=-15+162$$

147 मेळोवंक -15 आनी 162 ची बेरीज करची.

$$85x+11y=147$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2y-7 न -5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-10y+35=21$$

दोनूय कुशींतल्यान 35 वजा करचें.

$$6x-10y=21-35$$

-14 मेळोवंक 21 आनी 35 वजा करचे.

$$6x-10y=-14$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$85x+11y=147$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 11y वजा करचें.

$$85x=-11y+147$$

दोनुय कुशींक 85 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

-11y+147क \frac{1}{85} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

6x-10y=-14 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-11y+147}{85} बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

\frac{-11y+147}{85}क 6 फावटी गुणचें.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

-10y कडेन -\frac{66y}{85} ची बेरीज करची.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{882}{85} वजा करचें.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

-\frac{916}{85} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{518}{229}$$

x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85} त y खातीर \frac{518}{229} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{518}{229} क -\frac{11}{85} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{5698}{19465} क \frac{147}{85} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{329}{229}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 40 वरवीं गुणाकार करच्यो, 4,10,8 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 मेळोवंक 10 आनी 5 गुणचें.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x-3 न 50 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 मेळोवंक -4 आनी 3 गुणचें.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

2y+1 न -12 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 मेळोवंक -150 आनी 12 वजा करचे.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x+y+1 न -7 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 मेळोवंक 4 आनी 7 वजा करचे.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

-3-7x-7y न 5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

दोनूय वटांनी 35x जोडचे.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x मेळोवंक 50x आनी 35x एकठांय करचें.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

दोनूय वटांनी 35y जोडचे.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y मेळोवंक -24y आनी 35y एकठांय करचें.

$$85x-162+11y=-15$$

दोनूय वटांनी 162 जोडचे.

$$85x+11y=-15+162$$

147 मेळोवंक -15 आनी 162 ची बेरीज करची.

$$85x+11y=147$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2y-7 न -5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-10y+35=21$$

दोनूय कुशींतल्यान 35 वजा करचें.

$$6x-10y=21-35$$

-14 मेळोवंक 21 आनी 35 वजा करचे.

$$6x-10y=-14$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 40 वरवीं गुणाकार करच्यो, 4,10,8 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 मेळोवंक 10 आनी 5 गुणचें.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x-3 न 50 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 मेळोवंक -4 आनी 3 गुणचें.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

2y+1 न -12 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 मेळोवंक -150 आनी 12 वजा करचे.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x+y+1 न -7 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 मेळोवंक 4 आनी 7 वजा करचे.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

-3-7x-7y न 5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

दोनूय वटांनी 35x जोडचे.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x मेळोवंक 50x आनी 35x एकठांय करचें.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

दोनूय वटांनी 35y जोडचे.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y मेळोवंक -24y आनी 35y एकठांय करचें.

$$85x-162+11y=-15$$

दोनूय वटांनी 162 जोडचे.

$$85x+11y=-15+162$$

147 मेळोवंक -15 आनी 162 ची बेरीज करची.

$$85x+11y=147$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2y-7 न -5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-10y+35=21$$

दोनूय कुशींतल्यान 35 वजा करचें.

$$6x-10y=21-35$$

-14 मेळोवंक 21 आनी 35 वजा करचे.

$$6x-10y=-14$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

85x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 85 न गुणचें.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

सोंपें करचें.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 510x+66y=882 तल्यान 510x-850y=-1190 वजा करचो.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

-510x कडेन 510x ची बेरीज करची. अटी 510x आनी -510x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$66y+850y=882+1190$$

850y कडेन 66y ची बेरीज करची.

$$916y=882+1190$$

1190 कडेन 882 ची बेरीज करची.

$$916y=2072$$

दोनुय कुशींक 916 न भाग लावचो.

$$y=\frac{518}{229}$$

6x-10y=-14 त y खातीर \frac{518}{229} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

\frac{518}{229}क -10 फावटी गुणचें.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5180}{229} ची बेरीज करची.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{329}{229}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$