सोडोवचें {l}{3x-7/4-2y+1/6=0}{x+2/5-5y+4/3=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 7 } { 4 } - \frac { 2 y + 1 } { 6 } = 0 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } - \frac { 5 y + 4 } { 3 } = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 4,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

3x-7 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

2y+1 न -2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x-21-4y-2=0$$

-23 मेळोवंक -21 आनी 2 वजा करचे.

$$9x-23-4y=0$$

दोनूय वटांनी 23 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$9x-4y=23$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 15 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

x+2 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

5y+4 न -5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+6-25y-20=-30$$

-14 मेळोवंक 6 आनी 20 वजा करचे.

$$3x-14-25y=-30$$

दोनूय वटांनी 14 जोडचे.

$$3x-25y=-30+14$$

-16 मेळोवंक -30 आनी 14 ची बेरीज करची.

$$3x-25y=-16$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$9x-4y=23$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y ची बेरीज करची.

$$9x=4y+23$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+23\right)$$

4y+23क \frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}$$

3x-25y=-16 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{4y+23}{9} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}\right)-25y=-16$$

\frac{4y+23}{9}क 3 फावटी गुणचें.

$$\frac{4}{3}y+\frac{23}{3}-25y=-16$$

-25y कडेन \frac{4y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{71}{3}y+\frac{23}{3}=-16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{23}{3} वजा करचें.

$$-\frac{71}{3}y=-\frac{71}{3}$$

-\frac{71}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=1$$

x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9} त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{4+23}{9}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{4}{9} क \frac{23}{9} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 4,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

3x-7 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

2y+1 न -2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x-21-4y-2=0$$

-23 मेळोवंक -21 आनी 2 वजा करचे.

$$9x-23-4y=0$$

दोनूय वटांनी 23 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$9x-4y=23$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 15 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

x+2 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

5y+4 न -5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+6-25y-20=-30$$

-14 मेळोवंक 6 आनी 20 वजा करचे.

$$3x-14-25y=-30$$

दोनूय वटांनी 14 जोडचे.

$$3x-25y=-30+14$$

-16 मेळोवंक -30 आनी 14 ची बेरीज करची.

$$3x-25y=-16$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{9}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}&-\frac{4}{213}\\\frac{1}{71}&-\frac{3}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}\times 23-\frac{4}{213}\left(-16\right)\\\frac{1}{71}\times 23-\frac{3}{71}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 4,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

3x-7 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

2y+1 न -2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x-21-4y-2=0$$

-23 मेळोवंक -21 आनी 2 वजा करचे.

$$9x-23-4y=0$$

दोनूय वटांनी 23 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$9x-4y=23$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 15 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

x+2 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

5y+4 न -5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+6-25y-20=-30$$

-14 मेळोवंक 6 आनी 20 वजा करचे.

$$3x-14-25y=-30$$

दोनूय वटांनी 14 जोडचे.

$$3x-25y=-30+14$$

-16 मेळोवंक -30 आनी 14 ची बेरीज करची.

$$3x-25y=-16$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

9x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 9 न गुणचें.

$$3\times 9x+3\left(-4\right)y=3\times 23,9\times 3x+9\left(-25\right)y=9\left(-16\right)$$

सोंपें करचें.

$$27x-12y=69,27x-225y=-144$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 27x-12y=69 तल्यान 27x-225y=-144 वजा करचो.

$$27x-27x-12y+225y=69+144$$

-27x कडेन 27x ची बेरीज करची. अटी 27x आनी -27x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-12y+225y=69+144$$

225y कडेन -12y ची बेरीज करची.

$$213y=69+144$$

144 कडेन 69 ची बेरीज करची.

$$213y=213$$

दोनुय कुशींक 213 न भाग लावचो.

$$y=1$$

3x-25y=-16 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x-25=-16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 25 ची बेरीज करची.

$$3x=9$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=1$$