सोडोवचें {l}{3x+5y/6=-5}{2(x+7)+3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x + 5 y } { 6 } = - 5 } \\ { 2 ( x + 7 ) + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-5$$

$$y=-3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशीनीं 6 न गुणचें.

$$3x+5y=-5\times 6$$

-30 मेळोवंक -5 आनी 6 गुणचें.

$$3x+5y=-30$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+7 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+14+3y=-5$$

दोनूय कुशींतल्यान 14 वजा करचें.

$$2x+3y=-5-14$$

-19 मेळोवंक -5 आनी 14 वजा करचे.

$$2x+3y=-19$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+5y=-30$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$3x=-5y-30$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-30\right)$$

-5y-30क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{3}y-10$$

2x+3y=-19 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{5y}{3}-10 बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{5}{3}y-10\right)+3y=-19$$

-\frac{5y}{3}-10क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{10}{3}y-20+3y=-19$$

3y कडेन -\frac{10y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{3}y-20=-19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20 ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{3}y=1$$

दोनूय कुशीनीं -3 न गुणचें.

$$y=-3$$

x=-\frac{5}{3}y-10 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-10$$

-3क -\frac{5}{3} फावटी गुणचें.

$$x=5-10$$

5 कडेन -10 ची बेरीज करची.

$$x=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-5,y=-3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशीनीं 6 न गुणचें.

$$3x+5y=-5\times 6$$

-30 मेळोवंक -5 आनी 6 गुणचें.

$$3x+5y=-30$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+7 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+14+3y=-5$$

दोनूय कुशींतल्यान 14 वजा करचें.

$$2x+3y=-5-14$$

-19 मेळोवंक -5 आनी 14 वजा करचे.

$$2x+3y=-19$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-30\right)+5\left(-19\right)\\2\left(-30\right)-3\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-5,y=-3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशीनीं 6 न गुणचें.

$$3x+5y=-5\times 6$$

-30 मेळोवंक -5 आनी 6 गुणचें.

$$3x+5y=-30$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. x+7 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x+14+3y=-5$$

दोनूय कुशींतल्यान 14 वजा करचें.

$$2x+3y=-5-14$$

-19 मेळोवंक -5 आनी 14 वजा करचे.

$$2x+3y=-19$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

3x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-30\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-19\right)$$

सोंपें करचें.

$$6x+10y=-60,6x+9y=-57$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x+10y=-60 तल्यान 6x+9y=-57 वजा करचो.

$$6x-6x+10y-9y=-60+57$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$10y-9y=-60+57$$

-9y कडेन 10y ची बेरीज करची.

$$y=-60+57$$

57 कडेन -60 ची बेरीज करची.

$$y=-3$$

2x+3y=-19 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+3\left(-3\right)=-19$$

-3क 3 फावटी गुणचें.

$$2x-9=-19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 ची बेरीज करची.

$$2x=-10$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-5,y=-3$$