सोडोवचें {l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x-5+3y-4=-1$$

-9 मेळोवंक -5 आनी 4 वजा करचे.

$$2x-9+3y=-1$$

दोनूय वटांनी 9 जोडचे.

$$2x+3y=-1+9$$

8 मेळोवंक -1 आनी 9 ची बेरीज करची.

$$2x+3y=8$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$y-x=5$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+3y=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x=-3y+8$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

-3y+8क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

-x+y=5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{2}+4 बदलपी घेवचो.

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

-\frac{3y}{2}+4क -1 फावटी गुणचें.

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

y कडेन \frac{3y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{2}y=9$$

\frac{5}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{18}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+4 त y खातीर \frac{18}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{18}{5} क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

-\frac{27}{5} कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$x=-\frac{7}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x-5+3y-4=-1$$

-9 मेळोवंक -5 आनी 4 वजा करचे.

$$2x-9+3y=-1$$

दोनूय वटांनी 9 जोडचे.

$$2x+3y=-1+9$$

8 मेळोवंक -1 आनी 9 ची बेरीज करची.

$$2x+3y=8$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$y-x=5$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x-5+3y-4=-1$$

-9 मेळोवंक -5 आनी 4 वजा करचे.

$$2x-9+3y=-1$$

दोनूय वटांनी 9 जोडचे.

$$2x+3y=-1+9$$

8 मेळोवंक -1 आनी 9 ची बेरीज करची.

$$2x+3y=8$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$y-x=5$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

2x आनी -x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

सोंपें करचें.

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -2x-3y=-8 तल्यान -2x+2y=10 वजा करचो.

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

2x कडेन -2x ची बेरीज करची. अटी -2x आनी 2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-3y-2y=-8-10$$

-2y कडेन -3y ची बेरीज करची.

$$-5y=-8-10$$

-10 कडेन -8 ची बेरीज करची.

$$-5y=-18$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$y=\frac{18}{5}$$

-x+y=5 त y खातीर \frac{18}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{18}{5} वजा करचें.

$$-x=\frac{7}{5}$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{7}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$