सोडोवचें {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=7+2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 7 + 2 x } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-5$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x+7y+3y=0$$

10y मेळोवंक 7y आनी 3y एकठांय करचें.

$$2x+10y=0$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x+5y-1=14+4x$$

दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$2x+5y-1-4x=14$$

-2x मेळोवंक 2x आनी -4x एकठांय करचें.

$$-2x+5y-1=14$$

दोनूय वटांनी 1 जोडचे.

$$-2x+5y=14+1$$

15 मेळोवंक 14 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$-2x+5y=15$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+10y=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10y वजा करचें.

$$2x=-10y$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

-10yक \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-5y$$

-2x+5y=15 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -5y बदलपी घेवचो.

$$-2\left(-5\right)y+5y=15$$

-5yक -2 फावटी गुणचें.

$$10y+5y=15$$

5y कडेन 10y ची बेरीज करची.

$$15y=15$$

दोनुय कुशींक 15 न भाग लावचो.

$$y=1$$

x=-5y त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-5,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x+7y+3y=0$$

10y मेळोवंक 7y आनी 3y एकठांय करचें.

$$2x+10y=0$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x+5y-1=14+4x$$

दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$2x+5y-1-4x=14$$

-2x मेळोवंक 2x आनी -4x एकठांय करचें.

$$-2x+5y-1=14$$

दोनूय वटांनी 1 जोडचे.

$$-2x+5y=14+1$$

15 मेळोवंक 14 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$-2x+5y=15$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\left(-2\right)}&-\frac{10}{2\times 5-10\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 5-10\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 5-10\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 15\\\frac{1}{15}\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-5,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x+7y+3y=0$$

10y मेळोवंक 7y आनी 3y एकठांय करचें.

$$2x+10y=0$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x+5y-1=14+4x$$

दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$2x+5y-1-4x=14$$

-2x मेळोवंक 2x आनी -4x एकठांय करचें.

$$-2x+5y-1=14$$

दोनूय वटांनी 1 जोडचे.

$$-2x+5y=14+1$$

15 मेळोवंक 14 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$-2x+5y=15$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

2x आनी -2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$-2\times 2x-2\times 10y=0,2\left(-2\right)x+2\times 5y=2\times 15$$

सोंपें करचें.

$$-4x-20y=0,-4x+10y=30$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -4x-20y=0 तल्यान -4x+10y=30 वजा करचो.

$$-4x+4x-20y-10y=-30$$

4x कडेन -4x ची बेरीज करची. अटी -4x आनी 4x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-20y-10y=-30$$

-10y कडेन -20y ची बेरीज करची.

$$-30y=-30$$

दोनुय कुशींक -30 न भाग लावचो.

$$y=1$$

-2x+5y=15 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2x+5=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें.

$$-2x=10$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-5,y=1$$