सोडोवचें {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x+7y+3y=0$$

10y मेळोवंक 7y आनी 3y एकठांय करचें.

$$2x+10y=0$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x+5y-1=4-2x$$

दोनूय वटांनी 2x जोडचे.

$$2x+5y-1+2x=4$$

4x मेळोवंक 2x आनी 2x एकठांय करचें.

$$4x+5y-1=4$$

दोनूय वटांनी 1 जोडचे.

$$4x+5y=4+1$$

5 मेळोवंक 4 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$4x+5y=5$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+10y=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10y वजा करचें.

$$2x=-10y$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

-10yक \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-5y$$

4x+5y=5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -5y बदलपी घेवचो.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

-5yक 4 फावटी गुणचें.

$$-20y+5y=5$$

5y कडेन -20y ची बेरीज करची.

$$-15y=5$$

दोनुय कुशींक -15 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x=-5y त y खातीर -\frac{1}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

-\frac{1}{3}क -5 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x+7y+3y=0$$

10y मेळोवंक 7y आनी 3y एकठांय करचें.

$$2x+10y=0$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x+5y-1=4-2x$$

दोनूय वटांनी 2x जोडचे.

$$2x+5y-1+2x=4$$

4x मेळोवंक 2x आनी 2x एकठांय करचें.

$$4x+5y-1=4$$

दोनूय वटांनी 1 जोडचे.

$$4x+5y=4+1$$

5 मेळोवंक 4 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$4x+5y=5$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x+7y+3y=0$$

10y मेळोवंक 7y आनी 3y एकठांय करचें.

$$2x+10y=0$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x+5y-1=4-2x$$

दोनूय वटांनी 2x जोडचे.

$$2x+5y-1+2x=4$$

4x मेळोवंक 2x आनी 2x एकठांय करचें.

$$4x+5y-1=4$$

दोनूय वटांनी 1 जोडचे.

$$4x+5y=4+1$$

5 मेळोवंक 4 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$4x+5y=5$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

2x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

सोंपें करचें.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8x+40y=0 तल्यान 8x+10y=10 वजा करचो.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

-8x कडेन 8x ची बेरीज करची. अटी 8x आनी -8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$40y-10y=-10$$

-10y कडेन 40y ची बेरीज करची.

$$30y=-10$$

दोनुय कुशींक 30 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{1}{3}$$

4x+5y=5 त y खातीर -\frac{1}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

-\frac{1}{3}क 5 फावटी गुणचें.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5}{3} ची बेरीज करची.

$$4x=\frac{20}{3}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{5}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$