सोडोवचें {c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$2y+5x=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5x वजा करचें.

$$2y=-5x+12$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

-5x+12क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

-6y-2x=-24 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर -\frac{5x}{2}+6 बदलपी घेवचो.

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

-\frac{5x}{2}+6क -6 फावटी गुणचें.

$$15x-36-2x=-24$$

-2x कडेन 15x ची बेरीज करची.

$$13x-36=-24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 36 ची बेरीज करची.

$$13x=12$$

दोनुय कुशींक 13 न भाग लावचो.

$$x=\frac{12}{13}$$

y=-\frac{5}{2}x+6 त x खातीर \frac{12}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{12}{13} क -\frac{5}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

-\frac{30}{13} कडेन 6 ची बेरीज करची.

$$y=\frac{48}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

2y आनी -6y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

सोंपें करचें.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -12y-30x=-72 तल्यान -12y-4x=-48 वजा करचो.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

12y कडेन -12y ची बेरीज करची. अटी -12y आनी 12y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-30x+4x=-72+48$$

4x कडेन -30x ची बेरीज करची.

$$-26x=-72+48$$

48 कडेन -72 ची बेरीज करची.

$$-26x=-24$$

दोनुय कुशींक -26 न भाग लावचो.

$$x=\frac{12}{13}$$

-6y-2x=-24 त x खातीर \frac{12}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

\frac{12}{13}क -2 फावटी गुणचें.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{24}{13} ची बेरीज करची.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

दोनुय कुशींक -6 न भाग लावचो.

$$y=\frac{48}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$