सोडोवचें {c}{-2x-4y=-12}{2x+3y=9}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 2 x - 4 y = - 12 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=0$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-2x-4y=-12,2x+3y=9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-2x-4y=-12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y ची बेरीज करची.

$$-2x=4y-12$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{2}\left(4y-12\right)$$

-12+4yक -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-2y+6$$

2x+3y=9 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -2y+6 बदलपी घेवचो.

$$2\left(-2y+6\right)+3y=9$$

-2y+6क 2 फावटी गुणचें.

$$-4y+12+3y=9$$

3y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-y+12=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 वजा करचें.

$$-y=-3$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=3$$

x=-2y+6 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2\times 3+6$$

3क -2 फावटी गुणचें.

$$x=-6+6$$

-6 कडेन 6 ची बेरीज करची.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-2x-4y=-12,2x+3y=9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\left(-12\right)+2\times 9\\-\left(-12\right)-9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=0,y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-2x-4y=-12,2x+3y=9$$

-2x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न गुणचें.

$$2\left(-2\right)x+2\left(-4\right)y=2\left(-12\right),-2\times 2x-2\times 3y=-2\times 9$$

सोंपें करचें.

$$-4x-8y=-24,-4x-6y=-18$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -4x-8y=-24 तल्यान -4x-6y=-18 वजा करचो.

$$-4x+4x-8y+6y=-24+18$$

4x कडेन -4x ची बेरीज करची. अटी -4x आनी 4x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-8y+6y=-24+18$$

6y कडेन -8y ची बेरीज करची.

$$-2y=-24+18$$

18 कडेन -24 ची बेरीज करची.

$$-2y=-6$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$y=3$$

2x+3y=9 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+3\times 3=9$$

3क 3 फावटी गुणचें.

$$2x+9=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 वजा करचें.

$$2x=0$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=3$$