सोडोवचें x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=14$$

$$y=9$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 21 वरवीं गुणाकार करच्यो, 7,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3x+7y=105$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 14 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$-x+42y=364$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+7y=105$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$3x=-7y+105$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

-7y+105क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

-x+42y=364 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{7y}{3}+35 बदलपी घेवचो.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

-\frac{7y}{3}+35क -1 फावटी गुणचें.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

42y कडेन \frac{7y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 35 ची बेरीज करची.

$$\frac{133}{3}y=399$$

\frac{133}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=9$$

x=-\frac{7}{3}y+35 त y खातीर 9 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

9क -\frac{7}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-21+35$$

-21 कडेन 35 ची बेरीज करची.

$$x=14$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=14,y=9$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 21 वरवीं गुणाकार करच्यो, 7,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3x+7y=105$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 14 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$-x+42y=364$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=14,y=9$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 21 वरवीं गुणाकार करच्यो, 7,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3x+7y=105$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 14 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$-x+42y=364$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

3x आनी -x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

सोंपें करचें.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -3x-7y=-105 तल्यान -3x+126y=1092 वजा करचो.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

3x कडेन -3x ची बेरीज करची. अटी -3x आनी 3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-7y-126y=-105-1092$$

-126y कडेन -7y ची बेरीज करची.

$$-133y=-105-1092$$

-1092 कडेन -105 ची बेरीज करची.

$$-133y=-1197$$

दोनुय कुशींक -133 न भाग लावचो.

$$y=9$$

-x+42y=364 त y खातीर 9 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-x+42\times 9=364$$

9क 42 फावटी गुणचें.

$$-x+378=364$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 378 वजा करचें.

$$-x=-14$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=14$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=14,y=9$$