다음을 풀어보세요: z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

z에 대한 해

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

근의 공식을 사용한 단계

z^{3}에 대한 대체 t입니다.

$$t^{2}-t+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 1(으)로, b을(를) -1(으)로, c을(를) 1(으)로 대체합니다.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

계산을 합니다.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} 수식의 해를 찾습니다.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

z=t^{3} 이후, 각 t에 대한 수식을 계산하여 해답을 얻을 수 있습니다.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$