다음을 풀어보세요: {8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$8x+2y=46$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$8x=-2y+46$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

\frac{1}{8}에 -2y+46을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

다른 수식 7x+3y=47에서 \frac{-y+23}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

7에 \frac{-y+23}{4}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

-\frac{7y}{4}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

수식의 양쪽에서 \frac{161}{4}을(를) 뺍니다.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

수식의 양쪽을 \frac{5}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{27}{5}$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}에서 y을(를) \frac{27}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{4}에 \frac{27}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{23}{4}을(를) -\frac{27}{20}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{22}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

8x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱합니다.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

단순화합니다.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 56x+14y=322에서 56x+24y=376을(를) 뺍니다.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

56x을(를) -56x에 추가합니다. 56x 및 -56x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$14y-24y=322-376$$

14y을(를) -24y에 추가합니다.

$$-10y=322-376$$

322을(를) -376에 추가합니다.

$$-10y=-54$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{27}{5}$$

7x+3y=47에서 y을(를) \frac{27}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

3에 \frac{27}{5}을(를) 곱합니다.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

수식의 양쪽에서 \frac{81}{5}을(를) 뺍니다.

$$7x=\frac{154}{5}$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{22}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$