다음을 풀어보세요: z^2-3z+4/4=0

$$z ^ { 2 } - 3 z + \frac { 4 } { 4 } = 0$$

z에 대한 해

$$z = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2.618033989$$

$$z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0.381966011$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$z^{2}-3z+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -3을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4}}{2}$$

-3을(를) 제곱합니다.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4}}{2}$$

9을(를) -4에 추가합니다.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{5}}{2}$$

-3의 반대는 3입니다.

$$z=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 z=\frac{3±\sqrt{5}}{2}을(를) 풉니다. 3을(를) \sqrt{5}에 추가합니다.

$$z=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 z=\frac{3±\sqrt{5}}{2}을(를) 풉니다. 3에서 \sqrt{5}을(를) 뺍니다.

$$z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$z=\frac{\sqrt{5}+3}{2} z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$z^{2}-3z+1=0$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$z^{2}-3z+1-1=-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$z^{2}-3z=-1$$

x 항의 계수인 -3을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{3}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{3}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$z^{2}-3z+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{3}{2}을(를) 제곱합니다.

$$z^{2}-3z+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$$

-1을(를) \frac{9}{4}에 추가합니다.

$$z^{2}-3z+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$$

z^{2}-3z+\frac{9}{4}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(z-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(z-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

단순화합니다.

$$z-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} z-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{3}{2}을(를) 더합니다.

$$z=\frac{\sqrt{5}+3}{2} z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$