다음을 풀어보세요: z^2+3z-30=(2z+5)(z+6)

$$z ^ { 2 } + 3 z - 30 = ( 2 z + 5 ) ( z + 6 )$$

z에 대한 해

$$z=-\sqrt{11}i-7\approx -7-3.31662479i$$

$$z=-7+\sqrt{11}i\approx -7+3.31662479i$$

근의 공식을 사용한 단계

분배 법칙을 사용하여 2z+5에 z+6(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

양쪽 모두에서 2z^{2}을(를) 뺍니다.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

z^{2}과(와) -2z^{2}을(를) 결합하여 -z^{2}(을)를 구합니다.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

양쪽 모두에서 17z을(를) 뺍니다.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

3z과(와) -17z을(를) 결합하여 -14z(을)를 구합니다.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

양쪽 모두에서 30을(를) 뺍니다.

$$-z^{2}-14z-30-30=0$$

-30에서 30을(를) 빼고 -60을(를) 구합니다.

$$-z^{2}-14z-60=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, -14을(를) b로, -60을(를) c로 치환합니다.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-14을(를) 제곱합니다.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4에 -60을(를) 곱합니다.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-240}}{2\left(-1\right)}$$

196을(를) -240에 추가합니다.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-44}}{2\left(-1\right)}$$

-44의 제곱근을 구합니다.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

-14의 반대는 14입니다.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}을(를) 풉니다. 14을(를) 2i\sqrt{11}에 추가합니다.

$$z=\frac{14+2\sqrt{11}i}{-2}$$

14+2i\sqrt{11}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$z=-\sqrt{11}i-7$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}을(를) 풉니다. 14에서 2i\sqrt{11}을(를) 뺍니다.

$$z=\frac{-2\sqrt{11}i+14}{-2}$$

14-2i\sqrt{11}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$z=-7+\sqrt{11}i$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$z=-\sqrt{11}i-7 z=-7+\sqrt{11}i$$

제곱 완성 단계

분배 법칙을 사용하여 2z+5에 z+6(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

양쪽 모두에서 2z^{2}을(를) 뺍니다.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

z^{2}과(와) -2z^{2}을(를) 결합하여 -z^{2}(을)를 구합니다.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

양쪽 모두에서 17z을(를) 뺍니다.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

3z과(와) -17z을(를) 결합하여 -14z(을)를 구합니다.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

양쪽에 30을(를) 더합니다.

$$-z^{2}-14z=30+30$$

30과(와) 30을(를) 더하여 60을(를) 구합니다.

$$-z^{2}-14z=60$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-z^{2}-14z}{-1}=\frac{60}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$z^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)z=\frac{60}{-1}$$

-14을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$z^{2}+14z=\frac{60}{-1}$$

60을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$z^{2}+14z=-60$$

x 항의 계수인 14을(를) 2(으)로 나눠서 7을(를) 구합니다. 그런 다음 7의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$z^{2}+14z+7^{2}=-60+7^{2}$$

7을(를) 제곱합니다.

$$z^{2}+14z+49=-60+49$$

-60을(를) 49에 추가합니다.

$$z^{2}+14z+49=-11$$

인수 z^{2}+14z+49. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(z+7\right)^{2}=-11$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(z+7\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

단순화합니다.

$$z+7=\sqrt{11}i z+7=-\sqrt{11}i$$

수식의 양쪽에서 7을(를) 뺍니다.

$$z=-7+\sqrt{11}i z=-\sqrt{11}i-7$$