다음을 풀어보세요: z^2+2/5z+1=0

$$z ^ { 2 } + \frac { 2 } { 5 } z + 1 = 0$$

z에 대한 해

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}\approx -0.2+0.979795897i$$

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}\approx -0.2-0.979795897i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, \frac{2}{5}을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-4}}{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{2}{5}을(를) 제곱합니다.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\frac{4}{25}-4}}{2}$$

\frac{4}{25}을(를) -4에 추가합니다.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{-\frac{96}{25}}}{2}$$

-\frac{96}{25}의 제곱근을 구합니다.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}을(를) 풉니다. -\frac{2}{5}을(를) \frac{4i\sqrt{6}}{5}에 추가합니다.

$$z=\frac{-2+4\sqrt{6}i}{2\times 5}$$

\frac{-2+4i\sqrt{6}}{5}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}을(를) 풉니다. -\frac{2}{5}에서 \frac{4i\sqrt{6}}{5}을(를) 뺍니다.

$$z=\frac{-4\sqrt{6}i-2}{2\times 5}$$

\frac{-2-4i\sqrt{6}}{5}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1-1=-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z=-1$$

x 항의 계수인 \frac{2}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{5}을(를) 제곱합니다.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-1+\frac{1}{25}$$

-1을(를) \frac{1}{25}에 추가합니다.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-\frac{24}{25}$$

인수 z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{24}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{24}{25}}$$

단순화합니다.

$$z+\frac{1}{5}=\frac{2\sqrt{6}i}{5} z+\frac{1}{5}=-\frac{2\sqrt{6}i}{5}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{5}을(를) 뺍니다.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$