다음을 풀어보세요: y=2x-3text{and}5x+2y=30

$$y = 2 x - 3 \text { and } 5 x + 2 y = 30$$

y, x에 대한 해

$$x=4$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=-3$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-2x=-3$$

수식의 양쪽에 2x을(를) 더합니다.

$$y=2x-3$$

다른 수식 2y+5x=30에서 2x-3을(를) y(으)로 치환합니다.

$$2\left(2x-3\right)+5x=30$$

2에 2x-3을(를) 곱합니다.

$$4x-6+5x=30$$

4x을(를) 5x에 추가합니다.

$$9x-6=30$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$9x=36$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

y=2x-3에서 x을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=2\times 4-3$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$y=8-3$$

-3을(를) 8에 추가합니다.

$$y=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=5,x=4$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=-3$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\left(-3\right)+\frac{2}{9}\times 30\\-\frac{2}{9}\left(-3\right)+\frac{1}{9}\times 30\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=5,x=4$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=-3$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

y 및 2y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\left(-3\right),2y+5x=30$$

단순화합니다.

$$2y-4x=-6,2y+5x=30$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2y-4x=-6에서 2y+5x=30을(를) 뺍니다.

$$2y-2y-4x-5x=-6-30$$

2y을(를) -2y에 추가합니다. 2y 및 -2y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4x-5x=-6-30$$

-4x을(를) -5x에 추가합니다.

$$-9x=-6-30$$

-6을(를) -30에 추가합니다.

$$-9x=-36$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

2y+5x=30에서 x을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2y+5\times 4=30$$

5에 4을(를) 곱합니다.

$$2y+20=30$$

수식의 양쪽에서 20을(를) 뺍니다.

$$2y=10$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=5,x=4$$