다음을 풀어보세요: y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

y, x에 대한 해

$$x=2$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=1$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-2x=1,y+x=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-2x=1$$

수식의 양쪽에 2x을(를) 더합니다.

$$y=2x+1$$

다른 수식 y+x=7에서 2x+1을(를) y(으)로 치환합니다.

$$2x+1+x=7$$

2x을(를) x에 추가합니다.

$$3x+1=7$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$3x=6$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

y=2x+1에서 x을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=2\times 2+1$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$y=4+1$$

1을(를) 4에 추가합니다.

$$y=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=5,x=2$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=1$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-2x=1,y+x=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=5,x=2$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=1$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-2x=1,y+x=7$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 y-2x=1에서 y+x=7을(를) 뺍니다.

$$y-y-2x-x=1-7$$

y을(를) -y에 추가합니다. y 및 -y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2x-x=1-7$$

-2x을(를) -x에 추가합니다.

$$-3x=1-7$$

1을(를) -7에 추가합니다.

$$-3x=-6$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

y+x=7에서 x을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y+2=7$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$y=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=5,x=2$$