다음을 풀어보세요: x=-16x^2+81x+5

$$x=-16 { x }^{ 2 } +81x+5$$

x에 대한 해

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx 5.061737691$$

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx -0.061737691$$

근의 공식을 사용한 단계

양쪽에 16x^{2}을(를) 더합니다.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

양쪽 모두에서 81x을(를) 뺍니다.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

x과(와) -81x을(를) 결합하여 -80x(을)를 구합니다.

$$-80x+16x^{2}=5$$

양쪽 모두에서 5을(를) 뺍니다.

$$-80x+16x^{2}-5=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$16x^{2}-80x-5=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 16을(를) a로, -80을(를) b로, -5을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

-80을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

-4에 16을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

-64에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400+320}}{2\times 16}$$

6400을(를) 320에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6720}}{2\times 16}$$

6720의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

-80의 반대는 80입니다.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

2에 16을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}을(를) 풉니다. 80을(를) 8\sqrt{105}에 추가합니다.

$$x=\frac{8\sqrt{105}+80}{32}$$

80+8\sqrt{105}을(를) 32(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}을(를) 풉니다. 80에서 8\sqrt{105}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{80-8\sqrt{105}}{32}$$

80-8\sqrt{105}을(를) 32(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

제곱 완성 단계

양쪽에 16x^{2}을(를) 더합니다.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

양쪽 모두에서 81x을(를) 뺍니다.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

x과(와) -81x을(를) 결합하여 -80x(을)를 구합니다.

$$-80x+16x^{2}=5$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$16x^{2}-80x=5$$

양쪽을 16(으)로 나눕니다.

$$\frac{16x^{2}-80x}{16}=\frac{5}{16}$$

16(으)로 나누면 16(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{16}\right)x=\frac{5}{16}$$

-80을(를) 16(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-5x=\frac{5}{16}$$

x 항의 계수인 -5을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{5}{16}+\frac{25}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{16}을(를) \frac{25}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{105}{16}$$

인수 x^{2}-5x+\frac{25}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{105}}{4} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$