다음을 풀어보세요: x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

x, y에 대한 해

$$x=32$$

$$y=27$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-y=5$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x=y+5$$

다른 수식 -4x+5y=7에서 y+5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

-4에 y+5을(를) 곱합니다.

$$-4y-20+5y=7$$

-4y을(를) 5y에 추가합니다.

$$y-20=7$$

수식의 양쪽에 20을(를) 더합니다.

$$y=27$$

x=y+5에서 y을(를) 27(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=27+5$$

5을(를) 27에 추가합니다.

$$x=32$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=32,y=27$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=32,y=27$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

x 및 -4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

단순화합니다.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -4x+4y=-20에서 -4x+5y=7을(를) 뺍니다.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

-4x을(를) 4x에 추가합니다. -4x 및 4x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$4y-5y=-20-7$$

4y을(를) -5y에 추가합니다.

$$-y=-20-7$$

-20을(를) -7에 추가합니다.

$$-y=-27$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=27$$

-4x+5y=7에서 y을(를) 27(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-4x+5\times 27=7$$

5에 27을(를) 곱합니다.

$$-4x+135=7$$

수식의 양쪽에서 135을(를) 뺍니다.

$$-4x=-128$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=32$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=32,y=27$$