다음을 풀어보세요: x^2-4x+1=0

$$x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

x에 대한 해

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3.732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0.267949192$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x^{2}-4x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -4을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4}}{2}$$

-4을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4}}{2}$$

16을(를) -4에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{12}}{2}$$

12의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

-4의 반대는 4입니다.

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}을(를) 풉니다. 4을(를) 2\sqrt{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+4}{2}$$

4+2\sqrt{3}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=\sqrt{3}+2$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}을(를) 풉니다. 4에서 2\sqrt{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

4-2\sqrt{3}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=2-\sqrt{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$x^{2}-4x+1=0$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-4x+1-1=-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$x^{2}-4x=-1$$

x 항의 계수인 -4을(를) 2(으)로 나눠서 -2을(를) 구합니다. 그런 다음 -2의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

-2을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

-1을(를) 4에 추가합니다.

$$x^{2}-4x+4=3$$

인수 x^{2}-4x+4. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

단순화합니다.

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$