다음을 풀어보세요: x^2-25x+625=0

$$x ^ { 2 } - 25 x + 625 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{25+25\sqrt{3}i}{2}\approx 12.5+21.650635095i$$

$$x=\frac{-25\sqrt{3}i+25}{2}\approx 12.5-21.650635095i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x^{2}-25x+625=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -25을(를) b로, 625을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 625}}{2}$$

-25을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 625}}{2}$$

-4에 625을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-2500}}{2}$$

625을(를) -2500에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{-1875}}{2}$$

-1875의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±25\sqrt{3}i}{2}$$

-25의 반대는 25입니다.

$$x=\frac{25±25\sqrt{3}i}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{25±25\sqrt{3}i}{2}을(를) 풉니다. 25을(를) 25i\sqrt{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{25+25\sqrt{3}i}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{25±25\sqrt{3}i}{2}을(를) 풉니다. 25에서 25i\sqrt{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-25\sqrt{3}i+25}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{25+25\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-25\sqrt{3}i+25}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$x^{2}-25x+625=0$$

수식의 양쪽에서 625을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-25x+625-625=-625$$

자신에서 625을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$x^{2}-25x=-625$$

x 항의 계수인 -25을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{25}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{25}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-625+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{25}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-625+\frac{625}{4}$$

-625을(를) \frac{625}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-\frac{1875}{4}$$

x^{2}-25x+\frac{625}{4}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=-\frac{1875}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1875}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{25\sqrt{3}i}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{25\sqrt{3}i}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{25}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{25+25\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-25\sqrt{3}i+25}{2}$$