다음을 풀어보세요: x^2-2sqrt{3}x+8=0

$$x ^ { 2 } - 2 \sqrt { 3 } x + 8 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i\approx 1.732050808+2.236067977i$$

$$x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}\approx 1.732050808-2.236067977i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -2\sqrt{3}을(를) b로, 8을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{\left(-2\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 8}}{2}$$

-2\sqrt{3}을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{12-4\times 8}}{2}$$

-4에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{12-32}}{2}$$

12을(를) -32에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{-20}}{2}$$

-20의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±2\sqrt{5}i}{2}$$

-2\sqrt{3}의 반대는 2\sqrt{3}입니다.

$$x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2}을(를) 풉니다. 2\sqrt{3}을(를) 2i\sqrt{5}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{5}i}{2}$$

2\sqrt{3}+2i\sqrt{5}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2}을(를) 풉니다. 2\sqrt{3}에서 2i\sqrt{5}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+2\sqrt{3}}{2}$$

2\sqrt{3}-2i\sqrt{5}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8=0$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8-8=-8$$

자신에서 8을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x=-8$$

x 항의 계수인 -2\sqrt{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\sqrt{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\sqrt{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+\left(-\sqrt{3}\right)^{2}=-8+\left(-\sqrt{3}\right)^{2}$$

-\sqrt{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3=-8+3$$

-8을(를) 3에 추가합니다.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3=-5$$

인수 x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\sqrt{3}\right)^{2}=-5$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{-5}$$

단순화합니다.

$$x-\sqrt{3}=\sqrt{5}i x-\sqrt{3}=-\sqrt{5}i$$

수식의 양쪽에 \sqrt{3}을(를) 더합니다.

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$