다음을 풀어보세요: x^2-15x+100=0

$$x ^ { 2 } - 15 x + 100 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}\approx 7.5+6.614378278i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}\approx 7.5-6.614378278i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x^{2}-15x+100=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -15을(를) b로, 100을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 100}}{2}$$

-15을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 100}}{2}$$

-4에 100을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-400}}{2}$$

225을(를) -400에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-175}}{2}$$

-175의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±5\sqrt{7}i}{2}$$

-15의 반대는 15입니다.

$$x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}을(를) 풉니다. 15을(를) 5i\sqrt{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}을(를) 풉니다. 15에서 5i\sqrt{7}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$x^{2}-15x+100=0$$

수식의 양쪽에서 100을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-15x+100-100=-100$$

자신에서 100을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$x^{2}-15x=-100$$

x 항의 계수인 -15을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{15}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{15}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{15}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-100+\frac{225}{4}$$

-100을(를) \frac{225}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{175}{4}$$

x^{2}-15x+\frac{225}{4}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{175}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{175}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{7}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{7}i}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{15}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$