다음을 풀어보세요: x^2-10x+90=0

$$x ^ { 2 } - 10 x + 90 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=5+\sqrt{65}i\approx 5+8.062257748i$$

$$x=-\sqrt{65}i+5\approx 5-8.062257748i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x^{2}-10x+90=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -10을(를) b로, 90을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 90}}{2}$$

-10을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 90}}{2}$$

-4에 90을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-360}}{2}$$

100을(를) -360에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-260}}{2}$$

-260의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{65}i}{2}$$

-10의 반대는 10입니다.

$$x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}을(를) 풉니다. 10을(를) 2i\sqrt{65}에 추가합니다.

$$x=\frac{10+2\sqrt{65}i}{2}$$

10+2i\sqrt{65}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=5+\sqrt{65}i$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}을(를) 풉니다. 10에서 2i\sqrt{65}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{65}i+10}{2}$$

10-2i\sqrt{65}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=-\sqrt{65}i+5$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$x^{2}-10x+90=0$$

수식의 양쪽에서 90을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-10x+90-90=-90$$

자신에서 90을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$x^{2}-10x=-90$$

x 항의 계수인 -10을(를) 2(으)로 나눠서 -5을(를) 구합니다. 그런 다음 -5의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-90+\left(-5\right)^{2}$$

-5을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-10x+25=-90+25$$

-90을(를) 25에 추가합니다.

$$x^{2}-10x+25=-65$$

인수 x^{2}-10x+25. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-5\right)^{2}=-65$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-65}$$

단순화합니다.

$$x-5=\sqrt{65}i x-5=-\sqrt{65}i$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$