다음을 풀어보세요: x^2+5x-24=0

$$x ^ { 2 } + 5 x - 24 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-8$$

$$x=3$$

인수 분해 사용 단계

방정식을 계산 하려면 수식 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)을 사용 하 x^{2}+5x-24. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=5 ab=-24$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -24을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

이 해답은 합계 5이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-3 b=8$$

가져온 값을 사용하여 인수 분해식 \left(x+a\right)\left(x+b\right)을(를) 다시 작성하세요.

$$\left(x-3\right)\left(x+8\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-3=0을 해결 하 고, x+8=0.

$$x=3 x=-8$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx-24(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -24을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

이 해답은 합계 5이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-3 b=8$$

x^{2}+5x-24을(를) \left(x^{2}-3x\right)+\left(8x-24\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(8x-24\right)$$

첫 번째 그룹 및 8에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-3을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-3\right)\left(x+8\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-3=0을 해결 하 고, x+8=0.

$$x=3 x=-8$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x^{2}+5x-24=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, 5을(를) b로, -24을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

5을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

-4에 -24을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2}$$

25을(를) 96에 추가합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2}$$

121의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-5±11}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-5±11}{2}을(를) 풉니다. -5을(를) 11에 추가합니다.

$$x=\frac{6}{2}$$

6을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-5±11}{2}을(를) 풉니다. -5에서 11을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{16}{2}$$

-16을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=-8$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=3 x=-8$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$x^{2}+5x-24=0$$

수식의 양쪽에 24을(를) 더합니다.

$$x^{2}+5x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

자신에서 -24을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$x^{2}+5x=-\left(-24\right)$$

0에서 -24을(를) 뺍니다.

$$x^{2}+5x=24$$

x 항의 계수인 5을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{5}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{5}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{5}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

24을(를) \frac{25}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

인수 x^{2}+5x+\frac{25}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=3 x=-8$$