다음을 풀어보세요: x^2+3x-11=0

$$x ^ { 2 } + 3 x - 11 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{53} - 3}{2} \approx 2.140054945$$

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}\approx -5.140054945$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x^{2}+3x-11=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, 3을(를) b로, -11을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

3을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-11\right)}}{2}$$

-4에 -11을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2}$$

9을(를) 44에 추가합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}을(를) 풉니다. -3을(를) \sqrt{53}에 추가합니다.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}을(를) 풉니다. -3에서 \sqrt{53}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$x^{2}+3x-11=0$$

수식의 양쪽에 11을(를) 더합니다.

$$x^{2}+3x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

자신에서 -11을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$x^{2}+3x=-\left(-11\right)$$

0에서 -11을(를) 뺍니다.

$$x^{2}+3x=11$$

x 항의 계수인 3을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

11을(를) \frac{9}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

인수 x^{2}+3x+\frac{9}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$