다음을 풀어보세요: x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

x에 대한 해

$$x=-5$$

$$x=5$$

해답 단계

수식의 양쪽에서 x^{2}+11을(를) 뺍니다.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

x^{2}+11의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

42에서 11을(를) 빼고 31을(를) 구합니다.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

수식의 양쪽을 모두 제곱합니다.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

\sqrt{x^{2}+11}의 2제곱을 계산하여 x^{2}+11을(를) 구합니다.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(31-x^{2}\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

양쪽 모두에서 961을(를) 뺍니다.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

11에서 961을(를) 빼고 -950을(를) 구합니다.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

양쪽에 62x^{2}을(를) 더합니다.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

x^{2}과(와) 62x^{2}을(를) 결합하여 63x^{2}(을)를 구합니다.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

양쪽 모두에서 x^{4}을(를) 뺍니다.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

x^{2}에 대한 대체 t입니다.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) -1(으)로, b을(를) 63(으)로, c을(를) -950(으)로 대체합니다.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

계산을 합니다.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 t=\frac{-63±13}{-2} 수식의 해를 찾습니다.

$$t=25 t=38$$

x=t^{2} 후에는 각 t에 대한 x=±\sqrt{t}을(를) 평가하여 해답을 얻을 수 있습니다.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

수식 x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42에서 5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

단순화합니다. 값 x=5은 수식을 만족합니다.

$$42=42$$

수식 x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42에서 -5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

단순화합니다. 값 x=-5은 수식을 만족합니다.

$$42=42$$

수식 x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42에서 \sqrt{38}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

단순화합니다. 값이 x=\sqrt{38} 수식을 충족하지 않습니다.

$$56=42$$

수식 x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42에서 -\sqrt{38}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

단순화합니다. 값이 x=-\sqrt{38} 수식을 충족하지 않습니다.

$$56=42$$

\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}의 모든 솔루션을 나열합니다.

$$x=5 x=-5$$