다음을 풀어보세요: x^{2}+(x^{2}-2x)^2=10+(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2

$$x ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } = 10 + ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

x에 대한 해

$$x=-1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x^{2}-2x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

같은 기수의 제곱을 곱하려면 해당 지수를 더합니다. 2과(와) 1을(를) 더하여 3을(를) 구합니다.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

x^{2}과(와) 4x^{2}을(를) 결합하여 5x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

10과(와) 1을(를) 더하여 11을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

x^{2}-2x-3을(를) 제곱합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

x^{2}과(와) -2x^{2}을(를) 결합하여 -x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

2x과(와) 12x을(를) 결합하여 14x(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

11과(와) 9을(를) 더하여 20을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

양쪽 모두에서 20을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

양쪽에 x^{2}을(를) 더합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

5x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 6x^{2}(을)를 구합니다.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

양쪽 모두에서 14x을(를) 뺍니다.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

양쪽 모두에서 x^{4}을(를) 뺍니다.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

x^{4}과(와) -x^{4}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

양쪽에 4x^{3}을(를) 더합니다.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

-4x^{3}과(와) 4x^{3}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$3x^{2}-10-7x=0$$

다항식을 표준 형식으로 재정렬합니다. 항을 최고 곱에서 최저 곱의 순으로 배치합니다.

$$3x^{2}-7x-10=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 3x^{2}+ax+bx-10(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-7 ab=3\left(-10\right)=-30$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -30을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

이 해답은 합계 -7이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-10 b=3$$

3x^{2}-7x-10을(를) \left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)$$

인수분해 3x^{2}-10x에서 x를 뽑아냅니다.

$$x\left(3x-10\right)+3x-10$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3x-10을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3x-10\right)\left(x+1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 3x-10=0을 해결 하 고, x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x^{2}-2x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

같은 기수의 제곱을 곱하려면 해당 지수를 더합니다. 2과(와) 1을(를) 더하여 3을(를) 구합니다.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

x^{2}과(와) 4x^{2}을(를) 결합하여 5x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

10과(와) 1을(를) 더하여 11을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

x^{2}-2x-3을(를) 제곱합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

x^{2}과(와) -2x^{2}을(를) 결합하여 -x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

2x과(와) 12x을(를) 결합하여 14x(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

11과(와) 9을(를) 더하여 20을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

양쪽 모두에서 20을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

양쪽에 x^{2}을(를) 더합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

5x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 6x^{2}(을)를 구합니다.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

양쪽 모두에서 14x을(를) 뺍니다.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

양쪽 모두에서 x^{4}을(를) 뺍니다.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

x^{4}과(와) -x^{4}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

양쪽에 4x^{3}을(를) 더합니다.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

-4x^{3}과(와) 4x^{3}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$6x^{2}-14x-20=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 6을(를) a로, -14을(를) b로, -20을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

-14을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

-4에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

-24에 -20을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 6}$$

196을(를) 480에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 6}$$

676의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 6}$$

-14의 반대는 14입니다.

$$x=\frac{14±26}{2\times 6}$$

2에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{14±26}{12}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{14±26}{12}을(를) 풉니다. 14을(를) 26에 추가합니다.

$$x=\frac{40}{12}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{40}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{10}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{14±26}{12}을(를) 풉니다. 14에서 26을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{12}{12}$$

-12을(를) 12(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x^{2}-2x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

같은 기수의 제곱을 곱하려면 해당 지수를 더합니다. 2과(와) 1을(를) 더하여 3을(를) 구합니다.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

x^{2}과(와) 4x^{2}을(를) 결합하여 5x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

10과(와) 1을(를) 더하여 11을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

x^{2}-2x-3을(를) 제곱합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

x^{2}과(와) -2x^{2}을(를) 결합하여 -x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

2x과(와) 12x을(를) 결합하여 14x(을)를 구합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

11과(와) 9을(를) 더하여 20을(를) 구합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

양쪽에 x^{2}을(를) 더합니다.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}+x^{2}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

5x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 6x^{2}(을)를 구합니다.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

양쪽 모두에서 14x을(를) 뺍니다.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x=20+x^{4}-4x^{3}$$

양쪽 모두에서 x^{4}을(를) 뺍니다.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x-x^{4}=20-4x^{3}$$

x^{4}과(와) -x^{4}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x=20-4x^{3}$$

양쪽에 4x^{3}을(를) 더합니다.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x+4x^{3}=20$$

-4x^{3}과(와) 4x^{3}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$6x^{2}-14x=20$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{20}{6}$$

6(으)로 나누면 6(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{20}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-14}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{20}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{20}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{10}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{7}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{7}{6}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{7}{6}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{7}{6}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{10}{3}을(를) \frac{49}{36}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{169}{36}$$

인수 x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{13}{6}$$

수식의 양쪽에 \frac{7}{6}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$