다음을 풀어보세요: x+2y=12,12=9x-2y

$$x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$9x-2y=12$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+2y=12$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$x=-2y+12$$

다른 수식 9x-2y=12에서 -2y+12을(를) x(으)로 치환합니다.

$$9\left(-2y+12\right)-2y=12$$

9에 -2y+12을(를) 곱합니다.

$$-18y+108-2y=12$$

-18y을(를) -2y에 추가합니다.

$$-20y+108=12$$

수식의 양쪽에서 108을(를) 뺍니다.

$$-20y=-96$$

양쪽을 -20(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{24}{5}$$

x=-2y+12에서 y을(를) \frac{24}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2\times \frac{24}{5}+12$$

-2에 \frac{24}{5}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{48}{5}+12$$

12을(를) -\frac{48}{5}에 추가합니다.

$$x=\frac{12}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$9x-2y=12$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 9}&-\frac{2}{-2-2\times 9}\\-\frac{9}{-2-2\times 9}&\frac{1}{-2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\times 12\\\frac{9}{20}\times 12-\frac{1}{20}\times 12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{24}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$9x-2y=12$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

x 및 9x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$9x+9\times 2y=9\times 12,9x-2y=12$$

단순화합니다.

$$9x+18y=108,9x-2y=12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 9x+18y=108에서 9x-2y=12을(를) 뺍니다.

$$9x-9x+18y+2y=108-12$$

9x을(를) -9x에 추가합니다. 9x 및 -9x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$18y+2y=108-12$$

18y을(를) 2y에 추가합니다.

$$20y=108-12$$

108을(를) -12에 추가합니다.

$$20y=96$$

양쪽을 20(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{24}{5}$$

9x-2y=12에서 y을(를) \frac{24}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$9x-2\times \frac{24}{5}=12$$

-2에 \frac{24}{5}을(를) 곱합니다.

$$9x-\frac{48}{5}=12$$

수식의 양쪽에 \frac{48}{5}을(를) 더합니다.

$$9x=\frac{108}{5}$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{12}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$